Inequações Exponenciais: regras, exemplos resolvidos e exercícios
Uma inequação exponencial é uma desigualdade em que a incógnita aparece no expoente, por exemplo \(3^{x}\!>\!81\) ou \( \left(\tfrac12\right)^{x}\!\leq\!4\). Elas são onipresentes em problemas de crescimento/decrescimento e aparecem no ENEM e em concursos. Revise também as propriedades em Mapas Mentais.
Regras fundamentais
- Crescente se \(a>1\):
\(a^{x} \; \# \; a^{y} \iff x \; \# \; y\) (o sinal#mantém: \(<, \le, >, \ge\)). - Decrescente se \(0
Estratégia geral de resolução
- Reduza ambos os lados a potências de mesma base sempre que possível.
- Quando houver termos algébricos, isole e use logaritmos ou substituições (ex.: \(t=a^{x}\)).
- Em inequações duplas, quebre em duas e interseccione os conjuntos solução.
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Acessar o eBookExemplos resolvidos
1) \(3^{x} < 81\)
\(81=3^{4}\). Como \(a=3>1\) é crescente, mantemos o sinal: \(3^{x}<3^{4}\iff x<4\).
Solução: \(S=\{x\in\mathbb{R}\mid x<4\}\).
2) \(\left(\tfrac12\right)^{x+1} \ge \tfrac14\)
\(\tfrac14=\left(\tfrac12\right)^{2}\). Como \(0
\(\left(\tfrac12\right)^{x+1} \ge \left(\tfrac12\right)^{2}\iff x+1 \le 2 \iff x\le 1\).
Solução: \(S=\{x\in\mathbb{R}\mid x\le 1\}\).
3) \(25^{\,x-1}\le 5\left(\tfrac15\right)^{x}\)
Escreva tudo na base \(5\): \(25=5^{2}\), \(\left(\tfrac15\right)^{x}=5^{-x}\).
Fica \(5^{2(x-1)} \le 5\cdot 5^{-x} \iff 5^{2x-2} \le 5^{1-x}\).
Comparando expoentes (base \(>1\)): \(2x-2 \le 1-x \Rightarrow 3x \le 3 \Rightarrow x \le 1\).
Solução: \(S=\{x\le 1\}\).
4) Inequação dupla: \(49^{\,x-1} \left(\tfrac{1}{\sqrt{7}}\right)^{x} < \sqrt{7}\)
Base \(7\): \(49=7^{2}\), \(\tfrac{1}{\sqrt{7}}=7^{-1/2}\), \(\sqrt{7}=7^{1/2}\).
Então \(7^{2(x-1)}\cdot 7^{-x/2} < 7^{1/2} \Rightarrow 7^{\;2x-2 - x/2} < 7^{1/2}\).
Como \(7>1\): \( \tfrac{3}{2}x – 2 < \tfrac{1}{2} \Rightarrow \tfrac{3}{2}x < \tfrac{5}{2} \Rightarrow x < \tfrac{5}{3}\).
Solução: \(S=\{x<\tfrac{5}{3}\}\).
5) Domínio de \(f(x)=\sqrt{\left(\tfrac12\right)^{x}-\sqrt{7}}\)
Para a raiz real: \(\left(\tfrac12\right)^{x}-\sqrt{7}\ge 0 \Rightarrow \left(\tfrac12\right)^{x}\ge \sqrt{7}=7^{1/2}\).
Como \(0<\tfrac12<1\), inverte: \(x\le -\log_{1/2}(7^{1/2})=\log_{2}(7^{1/2})\cdot 1\) (usando mudança de base).
Resposta: \(D(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\le \tfrac12\log_{2}7\}\).
Erros comuns (e como evitar)
- Esquecer de inverter o sinal quando a base satisfaz \(0
- Comparar expoentes sem antes reduzir para mesma base.
- Não checar restrições de domínio ao usar raízes e logaritmos.
Exercícios propostos
- \(2^{x+3} \ge 64\)
- \(\left(\tfrac13\right)^{2x-1} < 9\)
- \(5^{x} – 5\cdot 5^{x/2} \le 0\) (dica: substitua \(t=5^{x/2}\))
- \( \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{x} \ge \left(\tfrac12\right)^{x-1}\)
- Determine o domínio de \(h(x)=\sqrt{\,\left(\tfrac34\right)^{x}-2\,}\).
Gabarito
1) \(x\ge 3\). 2) \(x> -1\). 3) \(x\in (-\infty,2]\). 4) \(x\le 2\). 5) vazio (não há \(x\) real).
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Baixar agoraConclusão
Resolver inequações exponenciais é aplicar, com disciplina, as regras de monotonicidade da base e as transformações algébricas adequadas. Com prática — e atenção ao sinal — você dominará o tema para provas e aplicações reais.
