Integração por Partes: Fórmula, LIATE, Exemplos e Exercícios
A integração por partes é a técnica indicada quando o integrando é um produto de funções e a substituição simples não resolve. Ela vem da regra do produto da derivação: \( (uv)’ = u’v + uv’ \).
Como escolher \(u\) e \(dv\): Heurística LIATE
Uma ordem comum para escolher u é: Logarítmica → Inversa trig. → Algebraica (polinômios) → Trigonométrica → Exponencial. Em geral, escolha \(u\) para que \(du\) simplifique e \(dv\) para integrar facilmente em \(v\).
Exemplos Resolvidos — Indefinidas
Exemplo 1 — \(\displaystyle \int x e^x\,dx\)
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Escolha: \(u=x\Rightarrow du=dx\); \(dv=e^x dx\Rightarrow v=e^x\). \(\int x e^x dx = u\,v – \int v\,du\) \(= x e^x – \int e^x\,dx\) \(= x e^x – e^x + C\) Resultado: \(\boxed{(x-1)e^x + C}\)
Exemplo 2 — \(\displaystyle \int \ln x\,dx\) (use por partes!)
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Escolha: \(u=\ln x\Rightarrow du=\frac{1}{x}dx\); \(dv=dx\Rightarrow v=x\). \(\int \ln x\,dx = x\ln x – \int x\cdot \frac{1}{x}\,dx\) \(= x\ln x – \int 1\,dx\) \(= x\ln x – x + C\)
Exemplo 3 — \(\displaystyle \int x\sin x\,dx\)
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Escolha: \(u=x\Rightarrow du=dx\); \(dv=\sin x\,dx\Rightarrow v=-\cos x\). \(\int x\sin x\,dx = x(-\cos x) – \int (-\cos x)\,dx\) \(= -x\cos x + \int \cos x\,dx\) \(= -x\cos x + \sin x + C\)
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Exercícios — Indefinidas
- \(\displaystyle \int x\cos x\,dx\)
- \(\displaystyle \int x e^{2x}\,dx\)
- \(\displaystyle \int \arctan x\,dx\)
- \(\displaystyle \int x^2 e^x\,dx\)
- \(\displaystyle \int x\ln x\,dx\)
📘 Gabarito (indefinidas)
- \(\sin x + x\cos x\cdot(0?)\) ⟶ correto é \(\boxed{x\sin x + \cos x\;(-?)}\). Reescrevendo corretamente:
Por partes com \(u=x\), \(dv=\cos x\,dx\Rightarrow v=\sin x\): \(\int x\cos x\,dx = x\sin x – \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C\). - \(\boxed{\tfrac{x}{2}e^{2x} – \tfrac{1}{4}e^{2x} + C = \tfrac{e^{2x}}{4}(2x-1) + C}\)
- \(\boxed{x\arctan x – \tfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C}\)
- \(\boxed{x^2 e^x – 2\int x e^x dx = x^2 e^x – 2(x e^x – e^x) + C = e^x(x^2 – 2x + 2) + C}\)
- \(\boxed{\tfrac{x^2}{2}\ln x – \tfrac{x^2}{4} + C}\)
Integração por Partes — Definidas
Para integrais com limites, a fórmula é análoga e aplica-se o termo de fronteira \(uv\) já nos limites:
Exemplo 4 — \(\displaystyle \int_0^1 x e^x\,dx\)
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Escolha: \(u=x\Rightarrow du=dx\); \(dv=e^x dx\Rightarrow v=e^x\). \(\int_0^1 x e^x dx = \Big[x e^x\Big]_0^1 – \int_0^1 e^x\,dx\) \(= (1\cdot e^1 – 0) – (e^1 – e^0)\) \(= e – (e – 1)\) \(= 1\)
Exemplo 5 — \(\displaystyle \int_0^{\pi} x\sin x\,dx\)
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Escolha: \(u=x\Rightarrow du=dx\); \(dv=\sin x\,dx\Rightarrow v=-\cos x\). \(\int_0^{\pi} x\sin x\,dx = \Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi} – \int_0^{\pi}(-\cos x)\,dx\) \(= \big[-\pi\cos\pi – 0\cdot\cos 0\big] + \int_0^{\pi}\cos x\,dx\) \(= \big[-\pi(-1) – 0\big] + \big[\sin x\big]_0^{\pi}\) \(= \pi + (0 – 0)\) \(= \pi\)
Exercícios — Definidas
- \(\displaystyle \int_0^1 x\cos x\,dx\)
- \(\displaystyle \int_0^1 x e^{2x}\,dx\)
- \(\displaystyle \int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx\)
- \(\displaystyle \int_1^e \ln x\,dx\)
- \(\displaystyle \int_0^1 x^2 e^x\,dx\)
📘 Gabarito (definidas)
- \(\boxed{\sin 1 + \cos 1 – 1}\)
- \(\boxed{\tfrac{e^{2}}{4}(2-1) – \tfrac{1}{4}(0)} = \boxed{\tfrac{e^{2}}{4}}\) Detalhe: \(\int_0^1 xe^{2x}dx = \big[\tfrac{x}{2}e^{2x}\big]_0^1 – \int_0^1 \tfrac{1}{2}e^{2x}dx = \tfrac{e^{2}}{2} – \tfrac{1}{4}(e^{2}-1) = \tfrac{e^{2}}{4} + \tfrac{1}{4}\). Correção final: \(\boxed{\tfrac{e^{2}}{4}+\tfrac{1}{4}}\).
- \(\boxed{1}\)
- \(\boxed{e\!-\!1}\)
- \(\boxed{e – 2}\)
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