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ITA 2023 — 1ª Fase — Questão 38 — Números Complexos
Sejam \( z \in \mathbb{C} \) e \( f(z) = z^2 + i \). Para cada \( n \in \mathbb{R} \), definimos:
\[
f^{(1)}(z) = f(z) \quad \text{e} \quad f^{(n)}(z) = f(f^{(n-1)}(z)).
\]
Então, \( f^{(2023)}(0) \) é:
a) \( 1 – i \) b) \( i – 1 \) c) \( -i – 1 \) d) \( 1 + i \) e) \( -i \)
a) \( 1 – i \) b) \( i – 1 \) c) \( -i – 1 \) d) \( 1 + i \) e) \( -i \)
👀 Solução passo a passo
1) Calculando as primeiras iterações:
\[ f^{(1)}(0) = f(0) = 0^2 + i = i \] \[ f^{(2)}(0) = f(i) = i^2 + i = -1 + i \] \[ f^{(3)}(0) = f(-1 + i) = (-1 + i)^2 + i = (1 – 2i + i^2) + i = 1 – 2i – 1 + i = -i \] \[ f^{(4)}(0) = f(-i) = (-i)^2 + i = -1 + i \] Observa-se que o ciclo se repete a partir de \( f^{(3)} \).
2) Como \( f^{(3)}(0) = -i \) e o padrão se repete, temos: \[ f^{(2023)}(0) = -i \]
\[ f^{(1)}(0) = f(0) = 0^2 + i = i \] \[ f^{(2)}(0) = f(i) = i^2 + i = -1 + i \] \[ f^{(3)}(0) = f(-1 + i) = (-1 + i)^2 + i = (1 – 2i + i^2) + i = 1 – 2i – 1 + i = -i \] \[ f^{(4)}(0) = f(-i) = (-i)^2 + i = -1 + i \] Observa-se que o ciclo se repete a partir de \( f^{(3)} \).
2) Como \( f^{(3)}(0) = -i \) e o padrão se repete, temos: \[ f^{(2023)}(0) = -i \]
Resposta: \( -i \) (Alternativa E)
