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ITA 2023 — 1ª Fase — Questão 39 — Polígonos
Considere as afirmações:
I. Se \(P\) é um polígono convexo de \(n\) lados iguais, então \(P\) é um polígono regular.
II. Seja \(P\) um polígono convexo de 6 lados. Se seus ângulos internos, listados em ordem crescente, formam uma progressão aritmética, então a soma do menor e do maior ângulo interno de \(P\) é \(240^\circ\).
III. Existe um polígono convexo de 100 lados cujos ângulos internos, listados em ordem crescente, formam uma progressão aritmética de razão \(r = 1^\circ\).
É (são) sempre verdadeira(s):
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas II e III.
e) nenhuma.
I. Se \(P\) é um polígono convexo de \(n\) lados iguais, então \(P\) é um polígono regular.
II. Seja \(P\) um polígono convexo de 6 lados. Se seus ângulos internos, listados em ordem crescente, formam uma progressão aritmética, então a soma do menor e do maior ângulo interno de \(P\) é \(240^\circ\).
III. Existe um polígono convexo de 100 lados cujos ângulos internos, listados em ordem crescente, formam uma progressão aritmética de razão \(r = 1^\circ\).
É (são) sempre verdadeira(s):
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas II e III.
e) nenhuma.
👀 Solução passo a passo
Analisando a I:
Falsa. O losango é um polígono com lados iguais, mas não é regular.
Analisando a II:
Seja \(x\) o primeiro termo e \(r\) a razão da PA dos ângulos internos. Como o polígono é convexo de 6 lados: \[ x + (x+r) + (x+2r) + (x+3r) + (x+4r) + (x+5r) = (6-2) \cdot 180 \] \[ 6x + 15r = 720 \quad \Rightarrow \quad x + (x+5r) = 240 \] Logo, a soma do menor e do maior ângulo interno é \(240^\circ\), portanto verdadeira.
Analisando a III:
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de 100 lados é: \[ (100 – 2) \cdot 180 = 17640^\circ \] Se \(a_1\) e \(a_{100}\) forem o primeiro e o último ângulo: \[ \frac{a_1 + a_{100}}{2} \cdot 100 = 17640 \quad \Rightarrow \quad a_1 + a_{100} = 352,8^\circ \] Como \(a_1 < 180^\circ\) e \(a_{100} < 180^\circ\) para convexidade, a razão \(r\) não pode ser \(1^\circ\). Falsa.
Falsa. O losango é um polígono com lados iguais, mas não é regular.
Analisando a II:
Seja \(x\) o primeiro termo e \(r\) a razão da PA dos ângulos internos. Como o polígono é convexo de 6 lados: \[ x + (x+r) + (x+2r) + (x+3r) + (x+4r) + (x+5r) = (6-2) \cdot 180 \] \[ 6x + 15r = 720 \quad \Rightarrow \quad x + (x+5r) = 240 \] Logo, a soma do menor e do maior ângulo interno é \(240^\circ\), portanto verdadeira.
Analisando a III:
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de 100 lados é: \[ (100 – 2) \cdot 180 = 17640^\circ \] Se \(a_1\) e \(a_{100}\) forem o primeiro e o último ângulo: \[ \frac{a_1 + a_{100}}{2} \cdot 100 = 17640 \quad \Rightarrow \quad a_1 + a_{100} = 352,8^\circ \] Como \(a_1 < 180^\circ\) e \(a_{100} < 180^\circ\) para convexidade, a razão \(r\) não pode ser \(1^\circ\). Falsa.
Resposta: Apenas II é verdadeira. Alternativa **B**.
