ITA 2023 — 2ª Fase — Questão 04 — Polinômios e Raízes Complexas
Considere o polinômio:
\[
p(x)=x^4 – x^3 + x^2 – x + 1
\]
Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio:
\[
q(x)=x^{10} – 1
\]
por \(p(x)\) e encontre todas as raízes complexas de \(p(x)\).
👀 Solução passo a passo
1) Observando \(p(x)\):
Note que: \[ p(x)=1 – x + x^2 – x^3 + x^4 =\sum_{k=0}^{4} (-x)^k =\frac{1 – (-x)^5}{1 – (-x)}. \] Assim: \[ p(x)\,(x+1)=x^5+1. \] 2) Divisão de \(q(x)\) por \(p(x)\):
Fatorando: \[ q(x)=x^{10} – 1 = (x^5 – 1)(x^5 + 1). \] Usando \(p(x)\,(x+1) = x^5+1\), temos: \[ \frac{q(x)}{p(x)} = (x^5 – 1)\,(x+1). \] Logo: \[ \frac{q(x)}{p(x)} = (x^5 – 1)(x+1) = x^6 + x^5 – x – 1. \] Portanto, o quociente é: \[ x^6 + x^5 – x – 1 \] e o resto é: \[ 0. \] 3) Raízes complexas de \(p(x)\):
De \(p(x)\,(x+1)=x^5+1\), concluímos que as raízes de \(p(x)\) são as raízes quintas de \(-1\), exceto \(-1\).
As raízes quintas de \(-1\) são: \[ z_k = \cos\left(\frac{180^\circ + 360^\circ k}{5}\right) + i\sin\left(\frac{180^\circ + 360^\circ k}{5}\right),\quad k=0,1,2,3,4. \] Eliminando \(k=2\) (que dá \(x=-1\)), restam: \[ z_0 = \cos 36^\circ + i\sin 36^\circ, \quad z_1 = \cos 108^\circ + i\sin 108^\circ, \] \[ z_3 = \cos 252^\circ + i\sin 252^\circ, \quad z_4 = \cos 324^\circ + i\sin 324^\circ. \]
Note que: \[ p(x)=1 – x + x^2 – x^3 + x^4 =\sum_{k=0}^{4} (-x)^k =\frac{1 – (-x)^5}{1 – (-x)}. \] Assim: \[ p(x)\,(x+1)=x^5+1. \] 2) Divisão de \(q(x)\) por \(p(x)\):
Fatorando: \[ q(x)=x^{10} – 1 = (x^5 – 1)(x^5 + 1). \] Usando \(p(x)\,(x+1) = x^5+1\), temos: \[ \frac{q(x)}{p(x)} = (x^5 – 1)\,(x+1). \] Logo: \[ \frac{q(x)}{p(x)} = (x^5 – 1)(x+1) = x^6 + x^5 – x – 1. \] Portanto, o quociente é: \[ x^6 + x^5 – x – 1 \] e o resto é: \[ 0. \] 3) Raízes complexas de \(p(x)\):
De \(p(x)\,(x+1)=x^5+1\), concluímos que as raízes de \(p(x)\) são as raízes quintas de \(-1\), exceto \(-1\).
As raízes quintas de \(-1\) são: \[ z_k = \cos\left(\frac{180^\circ + 360^\circ k}{5}\right) + i\sin\left(\frac{180^\circ + 360^\circ k}{5}\right),\quad k=0,1,2,3,4. \] Eliminando \(k=2\) (que dá \(x=-1\)), restam: \[ z_0 = \cos 36^\circ + i\sin 36^\circ, \quad z_1 = \cos 108^\circ + i\sin 108^\circ, \] \[ z_3 = \cos 252^\circ + i\sin 252^\circ, \quad z_4 = \cos 324^\circ + i\sin 324^\circ. \]
Quociente: \(x^6 + x^5 – x – 1\)
Resto: \(0\)
Raízes de \(p(x)\): \(z_0, z_1, z_3, z_4\) como descritas acima.
Resto: \(0\)
Raízes de \(p(x)\): \(z_0, z_1, z_3, z_4\) como descritas acima.
