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ITA 2023 — 1ª Fase — Questão 46 — Geometria / Sólidos de Rotação
A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo é \(10\) cm.
O volume do sólido gerado pela rotação desse triângulo em torno de um eixo que contém a hipotenusa é \(30\pi\) cm³.
O perímetro desse triângulo é, em cm:
a) \(10+4\sqrt7\). b) \(10+5\sqrt7\). c) \(10+2\sqrt{10}\). d) \(10+3\sqrt{10}\). e) \(10+4\sqrt{10}\).
a) \(10+4\sqrt7\). b) \(10+5\sqrt7\). c) \(10+2\sqrt{10}\). d) \(10+3\sqrt{10}\). e) \(10+4\sqrt{10}\).
👀 Solução passo a passo
Considere o triângulo retângulo \(ABC\) com hipotenusa \(AB=10\).
Ao girá-lo em torno da reta \(AB\), o sólido é a união de dois cones com o mesmo raio \(r\) (a distância do vértice reto \(C\) até a hipotenusa) e alturas complementares que somam \(10\). Logo:
\[
V=\frac13\pi r^2(10-h)+\frac13\pi r^2 h=\frac13\pi r^2\cdot10=30\pi
\ \Rightarrow\ r^2=9\ \Rightarrow\ r=3\ \text{cm}.
\]
Denote por \(a=BC\) e \(b=AC\) os catetos. No triângulo retângulo,
\[
a^2+b^2=10^2=100.
\]
Além disso, a distância do vértice reto \(C\) à hipotenusa é
\[
r=\frac{ab}{AB}=\frac{ab}{10}.
\]
Como \(r=3\), segue
\[
ab=10\cdot3=30.
\]
Então
\[
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=100+60=160
\ \Rightarrow\ a+b=\sqrt{160}=4\sqrt{10}.
\]
O perímetro é
\[
P=a+b+AB=4\sqrt{10}+10.
\]
Resposta: \( \mathbf{10+4\sqrt{10}} \) — Alternativa **E**
