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ITA 2024 — 1ª Fase — Questão 41 — Polinômios e Somatória de Raízes
Considere o conjunto
\[
C = \{1, 2, 3, 4, 5\}.
\]
Para cada escolha possível de \(a_0, a_1, a_2, a_3, a_4\) todos distintos, formamos o polinômio
\[
P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4.
\]
A soma das raízes, contadas com multiplicidade, de todos os polinômios formados nesse processo é igual a:
a) \(\frac{17125}{4}\) b) \(-1800\) c) \(-360\) d) \(-\frac{351}{2}\) e) \(\frac{101}{4}\)
a) \(\frac{17125}{4}\) b) \(-1800\) c) \(-360\) d) \(-\frac{351}{2}\) e) \(\frac{101}{4}\)
👀 Solução Passo a Passo
1) Número de polinômios distintos:
Como \(a_0, a_1, a_2, a_3, a_4\) são todos distintos e vêm de \(C\) com \(5\) elementos: \[ \text{Total} = 5! = 120 \ \text{polinômios}. \]
2) Soma das raízes de um polinômio:
Pela relação de Viète, para \(P(x) = a_4 x^4 + a_3 x^3 + \dots\): \[ S_{\text{raízes}} = -\frac{a_3}{a_4}. \]
3) Contagem dos pares \((a_3, a_4)\):
Há \(A_{5,2} = 5 \cdot 4 = 20\) pares ordenados \((a_3, a_4)\). Para cada par fixo, restam \(3!\) maneiras de permutar \(a_0, a_1, a_2\), logo 6 polinômios diferentes com mesma soma de raízes.
4) Cálculo da soma total:
Para cada par \((a_3,a_4)\), a soma das raízes será: \[ 6 \cdot \left(-\frac{a_3}{a_4}\right). \] Devemos somar isso para todos os 20 pares.
5) Exemplo de cálculo:
Para \(a_4 = 1\), \(a_3 \in \{2,3,4,5\}\): \[ 6 \cdot \left(-\frac{2}{1} – \frac{3}{1} – \frac{4}{1} – \frac{5}{1}\right) = 6 \cdot (-14) = -84. \] Para \(a_4 = 2\), \(a_3 \in \{1,3,4,5\}\): \[ 6 \cdot \left(-\frac{1}{2} – \frac{3}{2} – 2 – \frac{5}{2}\right) = 6 \cdot \left(-\frac{13}{2}\right) = -39. \] Para \(a_4 = 3\), obtemos \(-24\). Para \(a_4 = 4\), obtemos \(-16{,}5\). Para \(a_4 = 5\), obtemos \(-12\).
6) Soma final:
\[ \text{Total} = -84 – 39 – 24 – 16{,}5 – 12 = -175{,}5 = -\frac{351}{2}. \]
Como \(a_0, a_1, a_2, a_3, a_4\) são todos distintos e vêm de \(C\) com \(5\) elementos: \[ \text{Total} = 5! = 120 \ \text{polinômios}. \]
2) Soma das raízes de um polinômio:
Pela relação de Viète, para \(P(x) = a_4 x^4 + a_3 x^3 + \dots\): \[ S_{\text{raízes}} = -\frac{a_3}{a_4}. \]
3) Contagem dos pares \((a_3, a_4)\):
Há \(A_{5,2} = 5 \cdot 4 = 20\) pares ordenados \((a_3, a_4)\). Para cada par fixo, restam \(3!\) maneiras de permutar \(a_0, a_1, a_2\), logo 6 polinômios diferentes com mesma soma de raízes.
4) Cálculo da soma total:
Para cada par \((a_3,a_4)\), a soma das raízes será: \[ 6 \cdot \left(-\frac{a_3}{a_4}\right). \] Devemos somar isso para todos os 20 pares.
5) Exemplo de cálculo:
Para \(a_4 = 1\), \(a_3 \in \{2,3,4,5\}\): \[ 6 \cdot \left(-\frac{2}{1} – \frac{3}{1} – \frac{4}{1} – \frac{5}{1}\right) = 6 \cdot (-14) = -84. \] Para \(a_4 = 2\), \(a_3 \in \{1,3,4,5\}\): \[ 6 \cdot \left(-\frac{1}{2} – \frac{3}{2} – 2 – \frac{5}{2}\right) = 6 \cdot \left(-\frac{13}{2}\right) = -39. \] Para \(a_4 = 3\), obtemos \(-24\). Para \(a_4 = 4\), obtemos \(-16{,}5\). Para \(a_4 = 5\), obtemos \(-12\).
6) Soma final:
\[ \text{Total} = -84 – 39 – 24 – 16{,}5 – 12 = -175{,}5 = -\frac{351}{2}. \]
Resposta: d) \(-\frac{351}{2}\)
