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ITA 2024 — 1ª Fase — Questão 43 — Progressão Geométrica e Cilindro
Considere um cilindro circular reto tal que a área da sua base \(A_1\), a área da sua superfície lateral \(A_2\) e o seu volume \(A_3\) formem, nesta ordem, uma progressão geométrica crescente. A medida do raio da base pode estar no intervalo:
Alternativas:
a) \((1; 2)\)
b) \(\left(\frac{5}{4}; 2\right)\)
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c) \(\left(\frac{3}{2}; \frac{7}{4}\right)\)
d) \(\left(\frac{7}{4}; 2\right)\)
e) \(\left(2; \frac{5}{2}\right)\)
👀 Solução Passo a Passo
1) Definição das variáveis:
Seja \(R\) o raio da base e \(H\) a altura do cilindro.
\[ A_1 = \pi R^2, \quad A_2 = 2\pi R H, \quad A_3 = \pi R^2 H \]
2) Condição de P.G.:
\(A_1, A_2, A_3\) formam uma progressão geométrica: \[ (2\pi R H)^2 = (\pi R^2)(\pi R^2 H) \] Simplificando: \[ 4\pi^2 R^2 H^2 = \pi^2 R^4 H \quad \Rightarrow \quad 4H = R^2 \quad \Rightarrow \quad H = \frac{R^2}{4} \]
3) Razão da P.G.:
A progressão é: \[ \pi R^2, \quad \frac{\pi R^3}{2}, \quad \frac{\pi R^4}{4} \] A razão é: \[ q = \frac{A_2}{A_1} = \frac{\pi R^3 / 2}{\pi R^2} = \frac{R}{2} \]
4) Condição de crescimento:
Como a P.G. é crescente: \[ \frac{R}{2} > 1 \quad \Rightarrow \quad R > 2 \]
5) Intervalo possível:
Assim, o raio \(R\) pode estar no intervalo: \[ \left(2, \frac{5}{2}\right) \]
Seja \(R\) o raio da base e \(H\) a altura do cilindro.
\[ A_1 = \pi R^2, \quad A_2 = 2\pi R H, \quad A_3 = \pi R^2 H \]
2) Condição de P.G.:
\(A_1, A_2, A_3\) formam uma progressão geométrica: \[ (2\pi R H)^2 = (\pi R^2)(\pi R^2 H) \] Simplificando: \[ 4\pi^2 R^2 H^2 = \pi^2 R^4 H \quad \Rightarrow \quad 4H = R^2 \quad \Rightarrow \quad H = \frac{R^2}{4} \]
3) Razão da P.G.:
A progressão é: \[ \pi R^2, \quad \frac{\pi R^3}{2}, \quad \frac{\pi R^4}{4} \] A razão é: \[ q = \frac{A_2}{A_1} = \frac{\pi R^3 / 2}{\pi R^2} = \frac{R}{2} \]
4) Condição de crescimento:
Como a P.G. é crescente: \[ \frac{R}{2} > 1 \quad \Rightarrow \quad R > 2 \]
5) Intervalo possível:
Assim, o raio \(R\) pode estar no intervalo: \[ \left(2, \frac{5}{2}\right) \]
Resposta: e) \(\left(2; \frac{5}{2}\right)\)
