Questão 05 — ITA 2025 — 1ª Fase | Conteúdo: Sequências • Somatório • PG e PA
Sejam \((a_n)\) e \((b_n)\) duas sequências tais que
\[ S_n=\sum_{k=1}^{n} a_k = b_{n+1} – b_1 \]Considere:
- I. Se \((b_n)\) é PG, então \((a_n)\) também é PG.
- II. Se \((a_n)\) é PG, então \((b_n)\) também é PG.
- III. Se \((a_n)\) é PA, então \((S_n)\) também é PA.
Estão corretas:
a) I e II.b) II e III.c) I e III.d) apenas I.e) nenhuma.
👀 Solução passo a passo
1) Reescrever a lei de formação
$$a_n = S_n – S_{n-1} = (b_{n+1}-b_1) – (b_n – b_1) = b_{n+1}-b_n$$
Logo, \(a_n\) é a diferença de \(b_n\).
2) Item I — PG para PG (Verdadeiro)
Seja \(b_n = b_1 q^{n-1}\), então
$$a_n = b_1 q^{n} – b_1 q^{n-1} = b_1 q^{n-1}(q-1)$$
o que também é PG de razão \(q\).
3) Item II — PG não garante PG (Falso)
Ex.: \(a_n\) PG \(1,2,4,\dots\) com \(b_1=2\) gera \(b_n=(2,3,5,9,\dots)\), que não é PG.
4) Item III — PA não garante \(S_n\) PA (Falso)
$$S_{n+1} – S_n = a_{n+1}$$
Não é constante se a razão \(r\neq 0\), logo \(S_n\) não é PA em geral.
Gabarito: apenas a I. Alternativa d).
