Seja \(A_k=(a_{ij})\) uma matriz quadrada de ordem \(k\), em que \(a_{ij}=\max\{i,j\}\) para todo \(i,j\in\{1,2,\dots,k\}\).
Determine \(\displaystyle \sum_{k=1}^{2025}\det(A_k).\)
👀 Solução passo a passo
\(k=1:\ A_1=[1]\Rightarrow \det A_1=1.\)
\(k=2:\ A_2=\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}\Rightarrow \det A_2=1\cdot2-2\cdot2=-2.\)
\(k=3:\ A_3=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&3\\3&3&3\end{pmatrix}\Rightarrow \det A_3=3.\)
\(k=4:\ A_4=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&2&3&4\\3&3&3&4\\4&4&4&4\end{pmatrix}\Rightarrow \det A_4=-4.\)
Indício: \(\det(A_k)=(-1)^{k-1}\,k\).
Para \(k\ge2\), faça as operações em linhas \(R_i\leftarrow R_i-R_{i-1}\) para \(i=k,k-1,\dots,2\). Obtemos a matriz \[ B_k= \begin{pmatrix} 1&2&3&\cdots&k\\ 1&0&0&\cdots&0\\ 1&1&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 1&1&\cdots&1&0 \end{pmatrix}. \] Em seguida, nas colunas, faça \(C_j\leftarrow C_j-C_{j-1}\) para \(j=k,k-1,\dots,2\). O resultado é uma matriz triangular superior com diagonal \[ \operatorname{diag}(1,\,-1,\,-1,\,\dots,\,-1,\,k). \] Como essas operações não alteram o determinante, concluímos \[ \boxed{\ \det(A_k)=(-1)^{k-1}\,k\ }. \]
Logo, \[ S=\sum_{k=1}^{2025}\det(A_k)=\sum_{k=1}^{2025}(-1)^{k-1}k =(1-2)+(3-4)+\cdots+(2023-2024)+2025. \] Agrupando em pares: cada \((2m-1)-2m=-1\). Como \(2025=2\cdot 1012+1\), \[ S=-1012+2025=1013. \]
