Os limites laterais analisam o comportamento de uma função quando \(x\) se aproxima de um ponto específico por apenas um dos lados.
Esse conceito é fundamental para entender continuidade, descontinuidades e existência de limites.
Limite pela esquerda
O limite pela esquerda é representado por:
\[ \lim_{x \to a^-}f(x) \]
Isso significa que \(x\) se aproxima de \(a\) usando valores menores que \(a\).
Limite pela direita
O limite pela direita é representado por:
\[ \lim_{x \to a^+}f(x) \]
Isso significa que \(x\) se aproxima de \(a\) usando valores maiores que \(a\).
Quando o limite existe?
Para existir:
\[ \lim_{x \to a}f(x) \]
é necessário que:
\[ \lim_{x \to a^-}f(x)=\lim_{x \to a^+}f(x) \]
Ou seja, os dois limites laterais devem possuir o mesmo valor.
Exemplo 1 — Limites laterais iguais
Considere:
\[ f(x)=x^2 \]
Quando \(x\) se aproxima de 2 pela esquerda:
\[ \lim_{x \to 2^-}x^2=4 \]
Quando \(x\) se aproxima pela direita:
\[ \lim_{x \to 2^+}x^2=4 \]
Como os dois valores são iguais:
\[ \lim_{x \to 2}x^2=4 \]
Exemplo 2 — Limites laterais diferentes
Considere a função:
\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x<0 \\ 3, & x>0 \end{cases} \]
Temos:
\[ \lim_{x \to 0^-}f(x)=1 \]
e:
\[ \lim_{x \to 0^+}f(x)=3 \]
Como os limites laterais são diferentes:
\[ \boxed{\text{O limite não existe}} \]
Interpretação gráfica
Graficamente, os limites laterais mostram como a função se comporta em cada lado do ponto analisado.
Muitas funções possuem saltos ou descontinuidades, fazendo com que os limites laterais sejam diferentes.
Exercícios Resolvidos
Calcule:
\[ \lim_{x \to 3^-}(x+2) \]
Substituindo:
\[ 3+2=5 \]
Resposta:
\[ \boxed{5} \]
Calcule:
\[ \lim_{x \to 1^+}(2x-1) \]
Substituindo:
\[ 2(1)-1=1 \]
Resposta:
\[ \boxed{1} \]
Se:
\[ \lim_{x \to a^-}f(x)=2 \]
e:
\[ \lim_{x \to a^+}f(x)=7 \]
Como os valores são diferentes:
\[ \boxed{\text{O limite não existe}} \]
