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(IBFC – 2023 – Sistema de Equações) Considere a igualdade 

Assinale a alternativa que apresenta os valores de A e B, respectivamente.

A) A = − 9 /4 e B = 1 /4

B) A = − 5 /4 e B = 9 /4

C) A = − 9 /4 e B = 5 /4

D) A = 9 /4 e B = − 1 /4

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Para resolver essa questão, precisamos decompor a fração x+7/x² – 4 em frações parciais. Observamos que ( x² – 4 ) é uma diferença de quadrados e pode ser fatorado como:

x² – 4 = (x + 2)(x – 2)

Portanto, temos a igualdade:

Passo 1: Multiplicar ambos os lados pelo denominador comum (x + 2)(x – 2)

Multiplicando ambos os lados por (x + 2)(x – 2), obtemos:

x + 7 = A(x – 2) + B(x + 2)

Passo 2: Expandir e simplificar a equação

Expanda o lado direito:

x + 7 = A(x – 2) + B(x + 2)

x + 7 = Ax – 2A + Bx + 2B

Agrupe os termos em (x) e os termos constantes:

x + 7 = (A + B)x + (-2A + 2B)

Passo 3: Igualar os coeficientes

Agora, podemos igualar os coeficientes de (x) e os termos constantes:

1. Para o coeficiente de (x):
   
   A + B = 1
   
2. Para o termo constante:
   
   -2A + 2B = 7
   

Passo 4: Resolver o sistema de equações

Temos o seguinte sistema de equações:

A + B = 1

-2A + 2B = 7

Podemos simplificar a segunda equação dividindo ambos os lados por 2:

-A + B = 7/2

Temos o sistema:

A + B = 1

-A + B = 7/2

Vamos somar as duas equações para eliminar

Agora que encontramos B, podemos substituir o valor de B na primeira equação para encontrar A:

Resumo dos valores encontrados

• A=−5/4
• B=9/4

Resposta

Alternativa correta: B) A=−5/4 e B=9/4

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