O administrador de um teatro percebeu que, com ingresso do evento a R$ 20,00, um show conseguia atrair 200 pessoas e que, a cada R$ 1,00 de redução no preço do ingresso, o número de pessoas aumentava em 40. Ele sabe que os donos do teatro só admitem trabalhar com valores inteiros para os ingressos, pela dificuldade de disponibilizar troco, e pretende convencê-los a diminuir o preço do ingresso. Assim, apresentará um gráfico da arrecadação em função do valor do desconto no preço atual do ingresso.
O gráfico que mais se assemelha ao que deve ser elaborado pelo administrador é:
Mostrar / esconder solução passo a passo
1) Modele a receita
Preço atual: R\$ \(20\). Se o desconto é \(x\) reais (inteiro), o novo preço é \(20 – x\).
Público: começa em \(200\) pessoas e cresce \(40\) por real de desconto ⇒ \(200 + 40x\).
Receita: \[ A(x) = (20-x)\,(200+40x) = 4000 + 600x – 40x^2. \]
Preço atual: R\$ \(20\). Se o desconto é \(x\) reais (inteiro), o novo preço é \(20 – x\).
Público: começa em \(200\) pessoas e cresce \(40\) por real de desconto ⇒ \(200 + 40x\).
Receita: \[ A(x) = (20-x)\,(200+40x) = 4000 + 600x – 40x^2. \]
2) Domínio do problema
Desconto inteiro e preço não negativo ⇒ \(x\in\{0,1,2,\dots,20\}\).
Portanto, o gráfico não é contínuo: são pontos da parábola para \(x\) inteiros.
Desconto inteiro e preço não negativo ⇒ \(x\in\{0,1,2,\dots,20\}\).
Portanto, o gráfico não é contínuo: são pontos da parábola para \(x\) inteiros.
3) Forma global
É uma parábola côncava para baixo (\(a=-40\)). O vértice ocorre em \[ x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-600}{2(-40)}=\frac{600}{80}=7{,}5, \] logo o máximo acontece entre \(x=7\) e \(x=8\) (em valores inteiros).
É uma parábola côncava para baixo (\(a=-40\)). O vértice ocorre em \[ x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-600}{2(-40)}=\frac{600}{80}=7{,}5, \] logo o máximo acontece entre \(x=7\) e \(x=8\) (em valores inteiros).
Assim, o esboço correto é uma parábola discreta (pontos) com máximo em \(x\approx 7{,}5\): Alternativa E.
Página desta questão:
ENEM 2021 — Matemática — Questão 20 (Receita × desconto)
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