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ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 43 — Números complexos & PG
A parte real da soma infinita da PG de termos
\[
a_n=\frac{\cos n+i\sin n}{2^n},\qquad n=1,2,3,\ldots
\]
é igual a:
A) \(\dfrac{-1+2\cos 1}{\,5-4\cos 1\,}\)
B) \(\dfrac{-2+4\cos 1}{\,5-4\cos 1\,}\)
C) \(\dfrac{4-2\cos 1}{\,5-4\cos 1\,}\)
D) \(\dfrac{1+2\cos 1}{\,5-4\cos 1\,}\)
E) \(\dfrac{2+4\cos 1}{\,5-4\cos 1\,}\)
👀 Solução passo a passo
Escreva \(\operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta\). Então
\[
a_n=\frac{\operatorname{cis} n}{2^n},\qquad
S=\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\frac{\operatorname{cis}1/2}{1-\operatorname{cis}1/2}
=\frac{\operatorname{cis}1}{\,2-\operatorname{cis}1\,}.
\]
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado \((2-\cos1)+i\sin1\),
\[
S=\frac{(\cos1+i\sin1)\big((2-\cos1)+i\sin1\big)}{(2-\cos1)^2+\sin^2 1}.
\]
A parte real do numerador é
\[
\cos1(2-\cos1)-\sin^2 1=2\cos1-(\cos^2 1+\sin^2 1)=2\cos1-1.
\]
O denominador é
\[
(2-\cos1)^2+\sin^2 1=4-4\cos1+\cos^2 1+\sin^2 1=5-4\cos1.
\]
Logo,
\[
\Re(S)=\frac{2\cos1-1}{5-4\cos1}
=\frac{-1+2\cos1}{\,5-4\cos1\,}.
\]
Resposta: A) \(\displaystyle \frac{-1+2\cos1}{5-4\cos1}\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2020 — Questão 42 — 1ª Fase
