Lema. Se (Ain M(n,k)) e (A^2ne 0), então existem índices (i,j,k) (possivelmente iguais) tais que (a_{ij}=a_{jk}=1). De fato, ((A^2)_{ik}=sum_{j} a_{ij}a_{jk}); se todos os produtos fossem nulos, teríamos (A^2=0).

Parte 1: (Lin M(3,1)).
Há 9 matrizes possíveis (uma posição (1) dentre 9). Para (L^2ne 0) é necessário e suficiente que o único (1) esteja na diagonal principal (caso contrário, não há pares (a_{ij}=a_{jk}=1) com (j) igual). Existem 3 posições diagonais, logo [ Pr(L^2ne 0)=frac{3}{9}=frac13 quadRightarrowquad Pr(L^2=0)=1-frac13=boxed{frac23}. tag{1} ] Parte 2: (Rin M(4,2)).
Total de matrizes: (binom{16}{2}=120). Contemos as com (R^2ne 0) (pelo lema, existe um índice (j) que é coluna do primeiro 1 e linha do segundo 1). Três casos: Caso A — nenhum 1 na diagonal. Escolha a posição do primeiro 1: 12 fora da diagonal. Para produzir um produto não nulo é preciso que o segundo 1 fique no mesmo índice intermediário (j), o que, ao varrer todas as escolhas ordenadas, gera 36 arranjos com 6 supercontagens (pares simétricos), restando (30) matrizes. Caso B — exatamente um 1 na diagonal. Há (4) escolhas para a posição diagonal e (12) escolhas para o outro 1 fora da diagonal; todas geram (R^2ne0): (4cdot 12=48) matrizes. Caso C — dois 1 na diagonal. Qualquer par diagonal funciona: (binom{4}{2}=6) matrizes. Somando: (30+48+6=84) matrizes com (R^2ne0). Logo [ Pr(R^2ne0)=frac{84}{120}=frac{7}{10} quadRightarrowquad Pr(R^2=0)=1-frac{7}{10}=boxed{frac{3}{10}}. tag{2} ] Resultado final. Como as escolhas de (L) e (R) são independentes, [ Pr(L^2=0 text{e} R^2=0)=frac{2}{3}cdotfrac{3}{10}=boxed{frac{1}{5}}. ]