ITA 2020 — 2ª Fase — Questão 7 — Números Complexos
Seja \(H\) o hexágono no plano de Argand–Gauss cujos vértices são as raízes do polinômio
\[
p(x)=(x-\sqrt3)^6+64.
\]
Determine \(z\in\mathbb{C}\) sabendo que o conjunto
\(M=\{zx\in\mathbb{C}\;:\;x\in H\}\) é o hexágono que possui
\(v_1=-1+\sqrt3\,i\), \(v_2=1-\sqrt3\,i\) e \(v_3=5-\sqrt3\,i\) como três vértices consecutivos.
👀 Solução detalhada
1) Vértices de \(H\).
De \(p(x)=0\) vem \((x-\sqrt3)^6=-64\). Escreva \(-64=64\,\mathrm{cis}(\pi)\). As sextas-raízes são \[ \omega_k=2\,\mathrm{cis}\!\Big(\tfrac{\pi}{6}+k\tfrac{\pi}{3}\Big), \qquad k=0,1,\ldots,5, \] isto é, \(\{\sqrt3+i,\;2i,\;-\sqrt3+i,\;-\sqrt3-i,\;-2i,\;\sqrt3-i\}\). Logo os vértices de \(H\) são \[ x_k=\omega_k+\sqrt3 \in\{\,\sqrt3+2i,\;2\sqrt3+i,\;i,\;-i,\;\sqrt3-2i,\;2\sqrt3-i\,\}. \] Em particular, dois vértices opostos de \(H\) são \(i\) e \(-i\).
2) Identificando a imagem por \(z\).
O hexágono \(M\) é obtido por multiplicação por \(z\) (uma rotação + homotetia em torno da origem). Note que \[ v_2=1-\sqrt3\,i = -(-1+\sqrt3\,i) = -\,v_1, \] ou seja, \(v_1\) e \(v_2\) são opostos; portanto devem vir de dois vértices opostos de \(H\), como \(i\) e \(-i\). Assim, é natural impor \[ z\cdot i = v_1\quad\Rightarrow\quad z=\frac{v_1}{i}=\frac{-1+\sqrt3\,i}{i} =\sqrt3+i. \]
3) Verificação com o terceiro vértice.
Tomando o vizinho de \(i\) no contorno de \(H\), por exemplo \(\sqrt3-2i\), obtemos \[ z(\sqrt3-2i)=(\sqrt3+i)(\sqrt3-2i) =3-2\sqrt3\,i+\sqrt3\,i-2i^2 =5-\sqrt3\,i=v_3, \] como desejado.
De \(p(x)=0\) vem \((x-\sqrt3)^6=-64\). Escreva \(-64=64\,\mathrm{cis}(\pi)\). As sextas-raízes são \[ \omega_k=2\,\mathrm{cis}\!\Big(\tfrac{\pi}{6}+k\tfrac{\pi}{3}\Big), \qquad k=0,1,\ldots,5, \] isto é, \(\{\sqrt3+i,\;2i,\;-\sqrt3+i,\;-\sqrt3-i,\;-2i,\;\sqrt3-i\}\). Logo os vértices de \(H\) são \[ x_k=\omega_k+\sqrt3 \in\{\,\sqrt3+2i,\;2\sqrt3+i,\;i,\;-i,\;\sqrt3-2i,\;2\sqrt3-i\,\}. \] Em particular, dois vértices opostos de \(H\) são \(i\) e \(-i\).
2) Identificando a imagem por \(z\).
O hexágono \(M\) é obtido por multiplicação por \(z\) (uma rotação + homotetia em torno da origem). Note que \[ v_2=1-\sqrt3\,i = -(-1+\sqrt3\,i) = -\,v_1, \] ou seja, \(v_1\) e \(v_2\) são opostos; portanto devem vir de dois vértices opostos de \(H\), como \(i\) e \(-i\). Assim, é natural impor \[ z\cdot i = v_1\quad\Rightarrow\quad z=\frac{v_1}{i}=\frac{-1+\sqrt3\,i}{i} =\sqrt3+i. \]
3) Verificação com o terceiro vértice.
Tomando o vizinho de \(i\) no contorno de \(H\), por exemplo \(\sqrt3-2i\), obtemos \[ z(\sqrt3-2i)=(\sqrt3+i)(\sqrt3-2i) =3-2\sqrt3\,i+\sqrt3\,i-2i^2 =5-\sqrt3\,i=v_3, \] como desejado.
Resposta: \(\boxed{\,z=\sqrt3+i\,}\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2020 — Questão 5 — 2ª Fase
