ITA 2020 — 2ª Fase — Questão 9 — Polinômios
Determine todos os números inteiros k com entre 0 e 200 para os quais o polinômio
Pk(x) = x³ – x² – k possui uma única raiz inteira.
Para cada um desses valores de k, determine a raiz inteira correspondente.
👀 Solução passo a passo
1) Estrutura das possíveis raízes inteiras.
Seja \(r\in\mathbb Z\) uma raiz inteira. Então \[ p_k(r)=r^3-r^2-k=0 \quad\Longrightarrow\quad k=r^3-r^2=r^2(r-1). \] Como \(0200\)).
2) Fatoração geral.
Para todo \(r\), \[ x^3-x^2-r^2(r-1)=(x-r)\big(x^2+(r-1)x+r(r-1)\big). \] O discriminante do quadrático é \[ \Delta=(r-1)^2-4\,r(r-1)=(r-1)\big((r-1)-4r\big)=(r-1)(-3r-1)<0 \quad(r\ge 1), \] logo ele não tem raízes reais (muito menos inteiras). Assim, a única raiz inteira do polinômio é \(x=r\).
3) Casos possíveis (e respectivos \(k\)). \[ \begin{array}{c|c|c} r & k=r^2(r-1) & \text{fatoração} \\ \hline 2 & 4 & (x-2)\,(x^2+x+2) \\ 3 & 18 & (x-3)\,(x^2+2x+6) \\ 4 & 48 & (x-4)\,(x^2+3x+12)\\ 5 & 100 & (x-5)\,(x^2+4x+20)\\ 6 & 180 & (x-6)\,(x^2+5x+30) \end{array} \] Em todos os casos acima, o quadrático não possui raízes inteiras; portanto há exatamente uma raiz inteira, que é \(x=r\).
Seja \(r\in\mathbb Z\) uma raiz inteira. Então \[ p_k(r)=r^3-r^2-k=0 \quad\Longrightarrow\quad k=r^3-r^2=r^2(r-1). \] Como \(0
2) Fatoração geral.
Para todo \(r\), \[ x^3-x^2-r^2(r-1)=(x-r)\big(x^2+(r-1)x+r(r-1)\big). \] O discriminante do quadrático é \[ \Delta=(r-1)^2-4\,r(r-1)=(r-1)\big((r-1)-4r\big)=(r-1)(-3r-1)<0 \quad(r\ge 1), \] logo ele não tem raízes reais (muito menos inteiras). Assim, a única raiz inteira do polinômio é \(x=r\).
3) Casos possíveis (e respectivos \(k\)). \[ \begin{array}{c|c|c} r & k=r^2(r-1) & \text{fatoração} \\ \hline 2 & 4 & (x-2)\,(x^2+x+2) \\ 3 & 18 & (x-3)\,(x^2+2x+6) \\ 4 & 48 & (x-4)\,(x^2+3x+12)\\ 5 & 100 & (x-5)\,(x^2+4x+20)\\ 6 & 180 & (x-6)\,(x^2+5x+30) \end{array} \] Em todos os casos acima, o quadrático não possui raízes inteiras; portanto há exatamente uma raiz inteira, que é \(x=r\).
Valores de \(k\) e suas raízes inteiras:
\(k=4\Rightarrow r=2\);\; \(k=18\Rightarrow r=3\);\; \(k=48\Rightarrow r=4\);\; \(k=100\Rightarrow r=5\);\; \(k=180\Rightarrow r=6\).
\(k=4\Rightarrow r=2\);\; \(k=18\Rightarrow r=3\);\; \(k=48\Rightarrow r=4\);\; \(k=100\Rightarrow r=5\);\; \(k=180\Rightarrow r=6\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2020 — Questão 8 — 2ª Fase
