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ITA 2021 — 2ª Fase — Questão 1 — Geometria Plana
Determine o raio da circunferência circunscrita a um trapézio isósceles cujas bases e altura têm comprimentos
\(4\), \(2\) e \(3\), respectivamente.
👀 Solução passo a passo
Posicione o trapézio isósceles no plano: base maior \(AB\) no eixo \(x\) com comprimento \(4\)
e base menor \(CD\) paralela a \(AB\), centrada e a altura \(3\) acima. Assim,
\[
A(-2,0),\ B(2,0),\ C(1,3),\ D(-1,3).
\]
Como o trapézio é isósceles, ele é cíclico; pelo eixo de simetria, o centro \(O\) da circunferência
está sobre o eixo \(y\), digamos \(O=(0,y)\).
Igualando as distâncias \(OA\) e \(OC\):
\[
OA^2=4+y^2,\qquad OC^2=(1-0)^2+(3-y)^2=1+(3-y)^2.
\]
Logo,
\[
4+y^2=1+(3-y)^2=1+9-6y+y^2 \;\Rightarrow\; 4=10-6y \;\Rightarrow\; y=1.
\]
Portanto, o raio é
\[
R=\sqrt{OA^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
\]
Resposta: \(\boxed{\sqrt{5}}\).
🔗 Veja também:
Matemática ITA 2021 — Questão 55 — 1ª Fase
