ITA 2021 — 1ª Fase — Questão 43 — Geometria Analítica
Os vértices da base de um triângulo isósceles \(PQR\), inscrito numa circunferência de centro \(O=(5,0)\), são
\(P=(4,2\sqrt{2})\) e \(Q=(8,0)\). Se o vértice \(R\) pertence ao primeiro quadrante, então a área do triângulo \(PQR\) é igual a:
a) \(\sqrt{2}(3-\sqrt{3})\).
b) \(\sqrt{3}(3+\sqrt{3})\).
c) \(\sqrt{3}(3-\sqrt{3})\).
d) \(\sqrt{6}(3+\sqrt{3})\).
e) \(\sqrt{6}(3-\sqrt{3})\).
b) \(\sqrt{3}(3+\sqrt{3})\).
c) \(\sqrt{3}(3-\sqrt{3})\).
d) \(\sqrt{6}(3+\sqrt{3})\).
e) \(\sqrt{6}(3-\sqrt{3})\).
👀 Solução passo a passo
I) O raio da circunferência é a distância \(OQ=3\).
II) Seja \(M\) o ponto médio de \(PQ\): \[ M=\left(\frac{4+8}{2},\,\frac{2\sqrt{2}+0}{2}\right)=(6,\sqrt{2}). \] III) Distância entre \(P\) e \(Q\): \[ d_{PQ}=\sqrt{(4-8)^{2}+(2\sqrt{2}-0)^{2}}=2\sqrt{6}. \] IV) Distância entre \(O\) e \(M\): \[ d_{OM}=\sqrt{(6-5)^{2}+(\sqrt{2}-0)^{2}}=\sqrt{3}. \] Como o triângulo é isósceles de base \(PQ\), a altura relativa à base é \(RM=3-\sqrt{3}\). Logo, a área do triângulo é: \[ A=\frac{PQ \cdot RM}{2}=\frac{2\sqrt{6}(3-\sqrt{3})}{2}=\sqrt{6}(3-\sqrt{3}). \]
II) Seja \(M\) o ponto médio de \(PQ\): \[ M=\left(\frac{4+8}{2},\,\frac{2\sqrt{2}+0}{2}\right)=(6,\sqrt{2}). \] III) Distância entre \(P\) e \(Q\): \[ d_{PQ}=\sqrt{(4-8)^{2}+(2\sqrt{2}-0)^{2}}=2\sqrt{6}. \] IV) Distância entre \(O\) e \(M\): \[ d_{OM}=\sqrt{(6-5)^{2}+(\sqrt{2}-0)^{2}}=\sqrt{3}. \] Como o triângulo é isósceles de base \(PQ\), a altura relativa à base é \(RM=3-\sqrt{3}\). Logo, a área do triângulo é: \[ A=\frac{PQ \cdot RM}{2}=\frac{2\sqrt{6}(3-\sqrt{3})}{2}=\sqrt{6}(3-\sqrt{3}). \]
Resposta: e) \(\sqrt{6}(3-\sqrt{3})\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — Questão 42 — 1ª Fase
