ITA 2021 — 1ª Fase — Questão 49 — PA nos lados de triângulos
O número de triângulos, dois a dois não congruentes, de perímetro \(87\), cujos lados,
dispostos em ordem crescente de comprimento, são números inteiros em progressão aritmética
de razão não nula, é igual a:
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
👀 Solução passo a passo
Seja a progressão \(a,b,c\) com \(a<b<c\) e razão \(r\neq 0\).
Escreva
\[
a=x-r,\qquad b=x,\qquad c=x+r\qquad (x\in\mathbb{Z},\ r\in\mathbb{Z}_{>0}).
\]
Do perímetro:
\[
a+b+c=87 \ \Longrightarrow\ 3x=87 \ \Longrightarrow\ x=29,
\]
logo \(b=29\) e \(c=29+r\).
Pela desigualdade triangular, como \(c\) é o maior lado:
\[
c<\frac{87}{2}\quad\text{e}\quad c>\frac{87}{3}.
\]
Assim,
\[
29<c<43{,}5 \ \Longrightarrow\ 30\le c\le 43
\ \Longrightarrow\ 1\le r\le 14.
\]
Para cada \(r\in\{1,2,\dots,14\}\) obtemos um triângulo diferente:
\((a,b,c)=(29-r,\,29,\,29+r)\). Todos são válidos (pois \(29-r\ge 15 >0\))
e não congruentes entre si (valores distintos de \(r\) produzem lados distintos).
Portanto, o número de triângulos é \(14\).
Resposta: b) 14.
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — Questão 48 — 1ª Fase
