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ITA 2021 — 1ª Fase — Questão 55 — Polinômios com coeficientes inteiros
Seja \(p(x)\) um polinômio com coeficientes inteiros tal que \(p(51)=391\) e \(0\le p(3)\lt 12\).
Então, \(p(3)\) é igual a:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
👀 Solução passo a passo
Como \(p\) tem coeficientes inteiros e \(x-51\) é monômio monico, pela divisão euclidiana existe
um polinômio \(Q(x)\) também de coeficientes inteiros tal que
\[
p(x)=(x-51)\,Q(x)+391,
\]
pois \(p(51)=391\) é o resto.
Avaliando em \(x=3\),
\[
p(3)=(3-51)Q(3)+391=-48\,Q(3)+391.
\]
Do enunciado \(0\le p(3)\lt 12\), logo
\[
0\le 391-48\,Q(3)\lt 12
\ \Longrightarrow\
\begin{cases}
48\,Q(3)\le 391,\\[2pt]
48\,Q(3) > 379.
\end{cases}
\]
Como \(Q(3)\in\mathbb{Z}\), obtemos \(Q(3)=8\).
Assim,
\[
p(3)=391-48\cdot 8=391-384=7.
\]
Resposta: c) 7.
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — Questão 54 — 1ª Fase
