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ITA 2021 — 2ª Fase — Questão 7 — PA no relógio digital
Um relógio digital mostra o horário no formato \(H:M:S\), onde \(H\in\{1,\dots,12\}\), \(M,S\in\{0,\dots,59\}\).
Quantas vezes em um dia \((H,M,S)\), nessa ordem, são os três primeiros termos de uma progressão aritmética
de razão estritamente positiva?
👀 Solução passo a passo
Se \((H,M,S)\) é uma PA crescente, então existe \(r\in\mathbb{Z}_{>0}\) tal que
\[
M=H+r,\qquad S=H+2r.
\]
Como \(0\le M,S\le 59\) e \(1\le H\le 12\),
\[
1\le H\le \min\{12,\,59-2r\}.
\]
Logo \(r\) pode variar de \(1\) até \(29\) (pois \(59-2r\ge 1\)). Para cada \(r\) válido, a quantidade de escolhas de \(H\)
é
\[
N(r)=\min\{12,\,59-2r\}.
\]
Assim:
- Para \(r=1,\dots,23\): \(59-2r\ge 12\Rightarrow N(r)=12\). Contribuição: \(23\cdot 12=276\).
- Para \(r=24,25,26,27,28,29\): \(N(r)=11,9,7,5,3,1\). Soma: \(11+9+7+5+3+1=36\).
Resposta: 624 vezes.
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — 2ª Fase — Questão 6
