ITA 2022 — 1ª Fase — Questão 48 — Cônicas (Hipérbole)
Seja \(b\in\mathbb{R}\) tal que a equação
\[
x^{2}-6bx-(1-b^{2})(y^{2}-2by)+b^{4}+8b^{2}-1=0
\]
determine uma hipérbole. Com respeito ao centro \(C\) dessa hipérbole, podemos afirmar:
a) \(C\in\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}/9+y^{2}/12\le 1\}\).
b) \(C\in\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}/4+y^{2}/2> 1\}\).
c) \(C\in\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}/9-y^{2}/2< 1\}\).
d) \(C\in\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 3x^{2}-2y^{2}> 1\}\).
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
b) \(C\in\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}/4+y^{2}/2> 1\}\).
c) \(C\in\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}/9-y^{2}/2< 1\}\).
d) \(C\in\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 3x^{2}-2y^{2}> 1\}\).
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
👀 Solução passo a passo
1) Completar quadrados:
\[ \begin{aligned} &x^{2}-6bx-(1-b^{2})(y^{2}-2by)+b^{4}+8b^{2}-1=0\\[2pt] &\Longleftrightarrow (x-3b)^{2}-(1-b^{2})\bigl[(y-b)^{2}\bigr]+8b^{2}-9b^{2}-1=0\\ &\Longleftrightarrow \frac{(x-3b)^{2}}{1}-\frac{(y-b)^{2}}{\,1-b^{2}\,}=1. \end{aligned} \] Trata-se de uma hipérbole com eixo-transversal horizontal, centro \[ C=(3b,\;b), \] definida quando \(1-b^{2}>0\ \Rightarrow\ |b|<1\).
2) Classificar o centro nas regiões propostas:
Substituímos \(x=3b,\ y=b\) em cada desigualdade. Note que \(|b|<1\).
\[ \begin{aligned} &x^{2}-6bx-(1-b^{2})(y^{2}-2by)+b^{4}+8b^{2}-1=0\\[2pt] &\Longleftrightarrow (x-3b)^{2}-(1-b^{2})\bigl[(y-b)^{2}\bigr]+8b^{2}-9b^{2}-1=0\\ &\Longleftrightarrow \frac{(x-3b)^{2}}{1}-\frac{(y-b)^{2}}{\,1-b^{2}\,}=1. \end{aligned} \] Trata-se de uma hipérbole com eixo-transversal horizontal, centro \[ C=(3b,\;b), \] definida quando \(1-b^{2}>0\ \Rightarrow\ |b|<1\).
2) Classificar o centro nas regiões propostas:
Substituímos \(x=3b,\ y=b\) em cada desigualdade. Note que \(|b|<1\).
- \( \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{12}=\dfrac{(3b)^{2}}{9}+\dfrac{b^{2}}{12}=b^{2}+\dfrac{b^{2}}{12}=\dfrac{13}{12}b^{2}\) pode ser \(>1\) quando \(b^{2}\to 1\) ⇒ não é sempre verdadeira.
- \( \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{2}=\dfrac{9b^{2}}{4}+\dfrac{b^{2}}{2}=\dfrac{11}{4}b^{2}\) pode ser \(\le1\) para \(b^{2}\) pequeno ⇒ não é sempre \(>1\).
- \( \dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{2}=\dfrac{(3b)^{2}}{9}-\dfrac{b^{2}}{2}=b^{2}-\dfrac{b^{2}}{2}=\dfrac{b^{2}}{2}<1\) (pois \(b^{2}<1\)). Logo \(\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{2}<1\) é sempre satisfeita.
- \(3x^{2}-2y^{2}=27b^{2}-2b^{2}=25b^{2}\) pode ser \(\le1\) para \(|b|\) pequeno ⇒ não é sempre \(>1\).
Resposta: C
