Confira a resolução detalhada de uma questão típica da banca VUNESP. Entenda o método e prepare-se para suas provas com confiança.
(Banca VUNESP – Nível Médio – 2023 – Geometria Plana) A base menor de um trapézio foi dividida em duas partes de mesma medida pelo ponto M e a base maior desse trapézio foi dividida em três partes de mesma medida pelos pontos P e Q. Esse trapézio foi dividido em cinco triângulos a partir de dois de seus vértices e dos pontos M, P e Q, conforme mostra a figura.
Sabe-se que a razão entre a área do triângulo T1 e a área do triângulo T5 é 2/3, que o triângulo T4 é equilátero e que a área do trapézio é 39 √3 cm2 . A medida da base menor desse trapézio é
A) 8 cm.
B) 13 cm.
C) 12 cm.
D) 10 cm.
E) 9 cm.
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Geometria – Determinação da Base Menor do Trapézio
Passo 1: Primeira relação – Triângulo ( T1 ) e Triângulo ( T5 )
Sabemos que:
A base do triângulo ( T1 ) é ( m/2 ), e a base do triângulo ( T5 ) é ( a ). As alturas de ambos os triângulos são iguais ( h ), então:
Simplificando:
Multiplicando:
Resolvendo para ( a ):
4a = 3m ou a = 3m/4.
Passo 2: Segunda relação – Área do trapézio
A fórmula da área do trapézio é:
Sabemos que:
- Base maior ( B ) = ( 3a ),
- Base menor ( b ) = ( m ),
- Área = ( 39√3 ).
Substituindo:
Resolvendo para ( h ):
Passo 3: Terceira relação – Soma das áreas dos triângulos
A área total do trapézio é composta pelas áreas dos cinco triângulos:
Área do trapézio=2⋅Área de T1+2⋅Área de T5+Área de T4.
Sabemos que:
Substituindo na fórmula da área total:
Simplificando:
Fatorando ( h ):
Substituímos
e
( a = 3m/4 ),
resolvendo a equação.
Passo 4: Resolver para ( m )
Após substituir e simplificar (bastante trabalho algébrico), chegamos a:
m2 = 64 ou m = 8 \cm.
Resposta
A medida da base menor ( m ) do trapézio é 8 cm.
Alternativa correta: A) 8 cm.
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