Matriz: Diagonal Secundária
A diagonal secundária de uma matriz quadrada é formada pelos elementos que se encontram na posição simétrica à diagonal principal. Em outras palavras, são os elementos da forma \(a_{i,\,n+1-i}\), onde \(i\) varia de \(1\) até \(n\), em uma matriz quadrada de ordem \(n\).
Definição
Seja a matriz quadrada \(A\) de ordem \(n\):
\[ A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix} \]
A diagonal secundária é formada por \(a_{1n}, a_{2,\,n-1}, a_{3,\,n-2}, \dots, a_{n1}\).
Propriedades Importantes
- É sempre composta por \(n\) elementos em uma matriz quadrada de ordem \(n\).
- Os índices dos elementos somam \(n+1\), ou seja, \(i+j=n+1\).
- Assim como a diagonal principal, a secundária pode ser usada para identificar simetrias em matrizes.
Exemplo Resolvido
Exemplo: Dada a matriz \(M=\begin{bmatrix}2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 10\end{bmatrix}\), identifique a diagonal secundária.
Solução:
A diagonal secundária é formada por \(4, 6, 8\).
Lista de Exercícios
1) Identifique a diagonal secundária da matriz \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}\).
Ver solução
A diagonal secundária é \(3, 5, 7\).
2) Para a matriz \(B=\begin{bmatrix}0 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 10 & 11 \\ 12 & 13 & 14 & 15\end{bmatrix}\), escreva os elementos da diagonal secundária.
Ver solução
São \(3, 6, 9, 12\).
3) Verifique se a matriz \(C=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\) possui elementos iguais na diagonal principal e na diagonal secundária.
Ver solução
Não. A diagonal principal é \(1,1,1\), e a secundária é \(0,1,0\).
