Método Gráfico para Sistemas de Equações — guia completo com exemplos e exercícios
Entenda como resolver sistemas lineares pelo método gráfico: isolar y, tabular valores, traçar as retas e encontrar o ponto de interseção. Conteúdo com exemplos resolvidos e exercícios (discursivos e de múltipla escolha).
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1) O que é o método gráfico?
O método gráfico para sistemas lineares consiste em representar no plano cartesiano as retas de cada equação do sistema e localizar o ponto de interseção. Suas coordenadas \((x,y)\) formam a solução do sistema.
Exemplo-base (da imagem)
Sistema:
\(\begin{cases} x + y = 1 \\ -2x + y = 7 \end{cases}\)
Isolando \(y\): \(\; y = 1 – x \;\) e \(\; y = 7 + 2x \).
Interseção (resolvendo algébricamente): \(\; 1 – x = 7 + 2x \Rightarrow x=-2,\; y=3 \).
Solução: \(\;(-2,\,3)\).
Como tabular valores
| x | \(y=1-x\) | y | (x,y) |
|---|---|---|---|
| -1 | \(1-(-1)=2\) | 2 | \((-1,2)\) |
| -2 | \(1-(-2)=3\) | 3 | \((-2,3)\) |
| -3 | \(1-(-3)=4\) | 4 | \((-3,4)\) |
| -4 | \(1-(-4)=5\) | 5 | \((-4,5)\) |
Dica: ao substituir valores negativos, lembre-se: \(\; -(-a)=+a \).
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2) Passo a passo resumido
- Isolar \(y\) nas duas equações (forma \(y=mx+b\)).
- Tabular alguns valores de \(x\) para obter pares \((x,y)\).
- Traçar as duas retas no plano cartesiano.
- Identificar o ponto de interseção: essa é a solução do sistema.
3) Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Resolva pelo método gráfico:
\(\begin{cases} 2x+y=4 \\ x-y=2 \end{cases}\)
Mostrar solução
Isolando \(y\): \(\; y=4-2x \;\) e \(\; y=x-2\).
Iguais: \(\; 4-2x=x-2 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2\). Substituindo: \(y=0\).
Solução: \((2,0)\).
Exemplo 2
Resolva:
\(\begin{cases} x+2y=8 \\ 2x-y=1 \end{cases}\)
Mostrar solução
\(y=4-\tfrac{x}{2}\) e \(y=2x-1\).
\(4-\frac{x}{2}=2x-1 \Rightarrow \frac{9}{2}=\frac{5x}{2} \Rightarrow x=\frac{9}{5}\).
\(y=2\cdot \frac{9}{5}-1=\frac{13}{5}\).
Solução: \(\left(\frac{9}{5},\frac{13}{5}\right)\).
4) Materiais recomendados
5) Exercícios para praticar
Discursivos
1) Resolva pelo método gráfico:
\(\begin{cases} y=3x-2 \\ y=-x+6 \end{cases}\)
Ver solução
Iguais: \(3x-2=-x+6 \Rightarrow 4x=8 \Rightarrow x=2\). Logo \(y=4\).
Solução: \((2,4)\).
2) Determine a solução:
\(\begin{cases} 4x+2y=10 \\ y=x+1 \end{cases}\)
Ver solução
Substituindo: \(4x+2(x+1)=10 \Rightarrow 6x=8 \Rightarrow x=\tfrac{4}{3}\).
\(y=\tfrac{4}{3}+1=\tfrac{7}{3}\).
Solução: \(\left(\tfrac{4}{3},\tfrac{7}{3}\right)\).
Múltipla escolha
3) O ponto de interseção do sistema \(\{y=2x+1;\; y=-x+4\}\) é:
Ver solução
Igualando: \(2x+1=-x+4\Rightarrow 3x=3\Rightarrow x=1\). Então \(y=3\). Resposta: B.
4) Para o sistema \(\{x+y=5;\; x-y=1\}\), assinale a alternativa correta:
Ver solução
Somando as equações: \(2x=6 \Rightarrow x=3\). Logo \(y=2\). Resposta: C.
5) Se as retas de um sistema são paralelas, então:
Ver solução
Retas paralelas não se intersectam ⇒ sem solução (SPI).
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FAQ — dúvidas rápidas
Quando usar o método gráfico?
Quando você quer visualizar a solução, interpretar gráficos ou conferir rapidamente se as retas são concorrentes, paralelas ou coincidentes.
O método gráfico sempre dá valores exatos?
Em papel quadriculado, pode haver aproximações. Para valores exatos, use também métodos algébricos (substituição ou adição).
Conclusão
O método gráfico torna visível a solução de um sistema linear: o ponto de interseção das retas. Com prática, você reconhece rapidamente casos com uma solução, nenhuma solução ou infinitas soluções.
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