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Múltiplos e Divisores — Guia Completo
Fundamentos para entender divisibilidade, MMC, MDC e resolver problemas clássicos de provas e concursos.
1) Conceitos básicos
Múltiplos
Um número \(M\) é múltiplo de \(n\) se existe inteiro \(k\) tal que \(M = n\cdot k\).
Exemplos: múltiplos de 3 → \(0, 3, 6, 9, 12, \ldots\)
Divisores
Um número \(d\) é divisor de \(N\) quando \(N \div d\) é exato (resto 0).
Exemplos: divisores de 12 → \(1, 2, 3, 4, 6, 12\)
Contexto: trabalharemos principalmente em números naturais e números inteiros, componentes da hierarquia de conjuntos numéricos.
2) Propriedades fundamentais
- Se \(a \mid b\) (isto é, \(a\) divide \(b\)), então \(b\) é múltiplo de \(a\).
- Todo número natural é divisor de si mesmo e o número 1 divide qualquer natural.
- O número 0 é múltiplo de todos (pois \(0 = n\cdot 0\)), mas não é divisor de nenhum número.
- Números primos possuem exatamente dois divisores: 1 e ele próprio.
Dica de estudo: domine os critérios de divisibilidade para acelerar testes de “divide ou não divide” sem precisar efetuar a divisão completa.
3) Critérios de divisibilidade (2–11)
| Número | Regra prática | Exemplo |
|---|---|---|
| 2 | Último dígito é par. | 438 termina em 8 → divisível. |
| 3 | Soma dos dígitos é múltipla de 3. | 3+6+9=18 → divisível. |
| 4 | Os dois últimos dígitos formam número divisível por 4. | 1216 → “16” é divisível por 4. |
| 5 | Termina em 0 ou 5. | 1 275 → divisível. |
| 6 | Divisível por 2 e 3 simultaneamente. | 324 é par e 3+2+4=9. |
| 7 | Remova o último dígito, dobre-o e subtraia do restante; repita. | \(203 \to 20 – 2\cdot 3 = 14\) (múltiplo de 7). |
| 8 | Os três últimos dígitos formam número divisível por 8. | 9216 → 216 ÷ 8 = 27. |
| 9 | Soma dos dígitos é múltipla de 9. | 3+6+9=18 → divisível. |
| 10 | Termina em 0. | 2 430 → divisível. |
| 11 | Diferença entre somas alternadas é múltipla de 11. | 1 462 → (1+6)−(4+2)=1 → não é. |
4) Como contar a quantidade de divisores de um número
Se \(N\) possui fatoração em primos \(N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\), então o número de divisores positivos é \(d(N) = (a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)\).
Exemplo: conte os divisores de \(N=360\)
Fatoração: \(360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1\).
Logo, \(d(360)=(3+1)(2+1)(1+1)=4\cdot 3\cdot 2 = \boxed{24}\) divisores.
5) MMC — Mínimo Múltiplo Comum
O MMC é o menor número (≠0) múltiplo comum a todos. Procedimento:
- Fatore cada número em primos;
- Multiplique os primos com maior expoente que aparecer.
Exemplo guiado: \( \text{MMC}(6, 8) \)
\(6=2\cdot 3\), \(8=2^3\) ⇒ pegue \(2^3\) e \(3\).
\(\text{MMC}=2^3\cdot 3=\boxed{24}\).
Estudo recomendado: aprofunde no guia Mínimo Múltiplo Comum (MMC) com mais exercícios e casos práticos.
6) MDC — Máximo Divisor Comum
O MDC é o maior número que divide simultaneamente os números do conjunto. Procedimento:
- Fatore cada número em primos;
- Multiplique os primos comuns com o menor expoente.
Exemplo guiado: \( \text{MDC}(18, 24) \)
\(18=2\cdot 3^2\), \(24=2^3\cdot 3\) ⇒ comuns: \(2^1\) e \(3^1\).
\(\text{MDC}=2\cdot 3=\boxed{6}\).
Método de Euclides (sem fatorar)
Para \( \text{MDC}(54,72) \): \(72=54\cdot 1 + 18\) → \(54=18\cdot 3 + 0\) ⇒ \(\boxed{18}\).
Estudo recomendado: veja o guia completo Máximo Divisor Comum (MDC) com técnicas e aplicações.
7) Relação entre MMC e MDC: quando usar cada um
MMC e MDC aparecem juntos em muitos problemas. Em geral:
- Use MMC para sincronizar ciclos e somar/subtrair frações (denominadores diferentes → encontre o múltiplo comum).
- Use MDC para simplificar frações, repartir igualmente e agrupar itens em lotes máximos iguais.
Há ainda relações algébricas úteis. Para dois números positivos \(a\) e \(b\):
\(\operatorname{MDC}(a,b) \cdot \operatorname{MMC}(a,b) = a \cdot b\).
8) Exercícios resolvidos
Ex. 1 — Cinco primeiros múltiplos de 9
\(9\cdot 1=9,\; 9\cdot 2=18,\; 9\cdot 3=27,\; 9\cdot 4=36,\; 9\cdot 5=45\).
Resposta: \(\boxed{9, 18, 27, 36, 45}\).
Ex. 2 — Liste todos os divisores de 30
Dividem 30 sem resto: \(1,2,3,5,6,10,15,30\).
Ex. 3 — \( \text{MMC}(12,18,20) \)
\(12=2^2\cdot 3\), \(18=2\cdot 3^2\), \(20=2^2\cdot 5\) ⇒ \(\text{MMC}=2^2\cdot 3^2\cdot 5=\boxed{180}\).
Mais exemplos no guia de MMC.
Ex. 4 — \( \text{MDC}(54,72) \)
\(54=2\cdot 3^3\), \(72=2^3\cdot 3^2\) ⇒ \(\text{MDC}=2^1\cdot 3^2=\boxed{18}\).
Mais técnicas no guia de MDC.
Ex. 5 — Quantos divisores tem \(N=2^4\cdot 3^2\cdot 5\)?
\(d(N)=(4+1)(2+1)(1+1)=5\cdot 3\cdot 2=\boxed{30}\) divisores.
9) Resumo rápido
| Conceito | Definição | Exemplo |
|---|---|---|
| Múltiplos | \(M = n\cdot k\), com \(k\in\mathbb{Z}\). | Múltiplos de 5: \(5,10,15,20,\dots\) |
| Divisores | \(d\) divide \(N\) se \(N \div d\) é exato. | Divisores de 12: \(1,2,3,4,6,12\) |
| MMC | Menor múltiplo comum (maiores expoentes). | \(\text{MMC}(6,8)=24\) |
| MDC | Maior divisor comum (menores expoentes comuns). | \(\text{MDC}(18,24)=6\) |
| Qtd. de divisores | Se \(N=\prod p_i^{a_i}\), então \(d(N)=\prod (a_i+1)\). | Para \(360=2^3\cdot 3^2\cdot 5\) → \(d=24\) |
Lista de Exercícios — Múltiplos e Divisores
Exercício 1 — Cinco primeiros múltiplos
Escreva os cinco primeiros múltiplos de: a) \(4\) b) \(7\) c) \(9\).
👀 Ver solução
a) \(4,8,12,16,20\) b) \(7,14,21,28,35\) c) \(9,18,27,36,45\).
Exercício 2 — Divisores
Liste todos os divisores de: a) \(18\) b) \(24\) c) \(36\).
👀 Ver solução
a) \(1,2,3,6,9,18\)
b) \(1,2,3,4,6,8,12,24\)
c) \(1,2,3,4,6,9,12,18,36\)
Exercício 3 — V/F
Complete com V (verdadeiro) ou F (falso):
a) \(5\) é divisor de \(30\). b) \(7\) é múltiplo de \(42\). c) \(15\) é divisor de \(225\).
👀 Ver solução
a) V (30 ÷ 5 = 6). b) F (42 é múltiplo de 7). c) V (225 ÷ 15 = 15).
Exercício 4 — MMC
Calcule o MMC de: a) \(6\) e \(9\) b) \(8\) e \(12\) c) \(15\) e \(20\).
👀 Ver solução
a) \(6=2\cdot3\), \(9=3^2\) ⇒ MMC \(=2\cdot3^2=\boxed{18}\).
b) \(8=2^3\), \(12=2^2\cdot3\) ⇒ MMC \(=2^3\cdot3=\boxed{24}\).
c) \(15=3\cdot5\), \(20=2^2\cdot5\) ⇒ MMC \(=2^2\cdot3\cdot5=\boxed{60}\).
Exercício 5 — MDC
Calcule o MDC de: a) \(18,24\) b) \(36,60\) c) \(48,72\).
👀 Ver solução
a) \(18=2\cdot3^2\), \(24=2^3\cdot3\) ⇒ MDC \(=2\cdot3=\boxed{6}\).
b) \(36=2^2\cdot3^2\), \(60=2^2\cdot3\cdot5\) ⇒ MDC \(=2^2\cdot3=\boxed{12}\).
c) \(48=2^4\cdot3\), \(72=2^3\cdot3^2\) ⇒ MDC \(=2^3\cdot3=\boxed{24}\).
Exercício 6 — Aplicação (ônibus)
Um ônibus passa a cada 12 min e outro a cada 18 min. Se ambos passaram juntos às 8h, quando será a próxima coincidência?
👀 Ver solução
Próxima coincidência em \(\operatorname{MMC}(12,18)=\boxed{36}\) minutos ⇒ 8h36.
Exercício 7 — Quantidade de divisores
Para \(N=2^3\cdot3^2\cdot5\): a) quantidade de divisores positivos; b) quantidade de divisores pares.
👀 Ver solução
a) \(d(N)=(3+1)(2+1)(1+1)=4\cdot3\cdot2=\boxed{24}\).
b) Par ⇒ expoente do 2 ≥ 1: \(3\) escolhas para \(2\) (1 a 3), \(3\) para \(3\), \(2\) para \(5\). Total \(3\cdot3\cdot2=\boxed{18}\).
Exercício 8 — Encontros periódicos
Pedro visita a cada 15 dias, João a cada 20 dias e Ana a cada 25 dias. Se se encontraram hoje, em quantos dias ocorrerá o próximo encontro dos três?
👀 Ver solução
\(\operatorname{MMC}(15,20,25)=2^2\cdot3\cdot5^2=\boxed{300}\) dias.
Exercício 9 — Embalagem de maçãs (interpretação clara)
Deseja-se embalar 360 maçãs em caixas iguais, sem sobras.
- Caso A (pelo menos duas caixas): qual é o maior número possível de maçãs por caixa?
- Caso B (uma única caixa é permitida): qual é o maior número possível de maçãs por caixa?
- Em cada caso, quantas caixas serão necessárias?
👀 Ver solução
Fatoração: \(360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\).
Caso A (≥ 2 caixas):
Procuramos o maior divisor \(d\) de 360 tal que \(d < 360\) e \(360/d \ge 2\) inteiro. Logo, \(d \le 180\).
O maior divisor \(\le 180\) é 180, pois \(360 \div 180 = 2\).
Resposta A: \(\boxed{180}\) maçãs por caixa e \(\boxed{2}\) caixas.
Caso B (1 caixa permitida):
O maior número por caixa é o total: 360.
Resposta B: \(\boxed{360}\) maçãs por caixa e \(\boxed{1}\) caixa.
Exercício 10 — Congruências (CRT)
Encontre o menor \(X>0\) tal que \(X\equiv 2 \pmod{5}\), \(X\equiv 3 \pmod{6}\) e \(X\equiv 1 \pmod{7}\).
👀 Ver solução
\(X=2+5a\). Em mod 6: \(2+5a\equiv3\Rightarrow5a\equiv1\Rightarrow a\equiv5\pmod6\Rightarrow a=5+6t\).
\(X=27+30t\). Em mod 7: \(27+30t\equiv1\Rightarrow 6+2t\equiv1\Rightarrow 2t\equiv2\Rightarrow t\equiv1\pmod7\).
Com \(t=1\): \(X=27+30=\boxed{57}\). (Solução geral \(X=57+210k\)).
