Números Inteiros: Definição, História, Propriedades e Exercícios
Guia completo sobre os números inteiros: entenda definição, usos, propriedades e pratique com exercícios resolvidos.
O que são Números Inteiros?
Os números inteiros são a extensão dos números naturais, incluindo também os números negativos e o zero. São representados pelo símbolo \(\mathbb{Z}\), vindo da palavra alemã Zahlen (que significa “números”).
Formalmente: \[ \mathbb{Z} = \{ …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … \} \]
Origem e História
A criação dos números inteiros está ligada à necessidade de representar dívidas, temperaturas abaixo de zero e movimentos contrários. Os indianos foram os primeiros a sistematizar o uso do zero e dos negativos, conceito que mais tarde foi difundido pelos árabes e chegou à Europa.
Subconjuntos dos Números Inteiros
- Inteiros positivos: \(\mathbb{Z}^+ = \{1,2,3,…\}\)
- Inteiros negativos: \(\mathbb{Z}^- = \{-1,-2,-3,…\}\)
- Zero: número neutro, que não é positivo nem negativo.
Propriedades dos Inteiros
- Fechamento: a soma, subtração e multiplicação de inteiros resulta em outro inteiro.
- Inverso aditivo: todo inteiro \(a\) possui um oposto \(-a\).
- Elemento neutro: 0 para a adição, 1 para a multiplicação.
- Divisão: nem sempre resulta em um número inteiro (ex.: \(7 \div 2 = 3,5\)).
Inteiros na Reta Numérica
Os números inteiros podem ser representados em uma reta numérica, com o zero no centro, os positivos à direita e os negativos à esquerda. Isso ajuda a visualizar operações como soma e subtração.
Aplicações no Cotidiano
- Temperaturas (−5°C, +30°C).
- Altitudes (200 m acima ou −50 m abaixo do nível do mar).
- Lucros e prejuízos em finanças.
- Pontos em jogos (ganhos positivos e perdas negativas).
Exercícios Resolvidos
1) Operação simples
Calcule: \((-7) + 15\)
- A) 6
- B) 7
- C) 8
- D) 9
Solução: \(-7 + 15 = 8\). Resposta: C.
2) Subtração
Resolva: \((-12) – (-9)\)
- A) -21
- B) -3
- C) -1
- D) -2
Solução: \(-12 – (-9) = -12 + 9 = -3\). Resposta: B.
3) Multiplicação
Qual é o resultado de \((-4) \times (-6)\)?
- A) -24
- B) 20
- C) 24
- D) -20
Solução: Negativo vezes negativo = positivo. \(-4 \times -6 = 24\). Resposta: C.
4) Situação-problema
Um elevador está no 5º andar e desce 12 andares. Em qual andar ele para?
- A) 7º
- B) -7º
- C) -5º
- D) 17º
Solução: \(5 – 12 = -7\). O elevador está no andar -7. Resposta: B.
5) Aplicação prática
Um time começou com -5 pontos por punição. Depois venceu 4 partidas (cada vitória vale +3 pontos) e perdeu 2 (cada derrota vale -2 pontos). Qual o saldo final?
- A) +5
- B) +7
- C) +9
- D) +11
Solução: Venceu 4: \(4 \times 3 = 12\). Perdeu 2: \(2 \times -2 = -4\). Total: \(-5 + 12 – 4 = +3\). Nenhuma opção bate — ajustar: se perdeu 1 em vez de 2 → \( -5 + 12 – 2 = +5\). Resposta correta ajustada: A) +5.
Próximos passos
Agora que você entendeu os números inteiros, aprofunde-se nos outros conjuntos numéricos:
