O número e: o Número de Euler

O número irracional e, também chamado de número de Euler, aparece em Cálculo, questões de ENEM e concursos, Probabilidade, Estatística, Finanças e fenômenos naturais. Seu valor aproximado é:

Definição formal

Uma definição clássica via limite é:

Outra definição equivalente e muito usada é:

História em poucas linhas

Das tabelas de logaritmos de John Napier ao estudo de juros de Jacob Bernoulli, o número e se consolidou com Leonhard Euler, que padronizou a notação e explorou suas propriedades no cálculo infinitesimal.

Por que o e é tão importante?

• Crescimento contínuo: modela populações, epidemias e juros compostos contínuos.
• Derivada notável: \( \frac{d}{dx} e^x = e^x \).
• Estatística: está nas distribuições Exponencial e Normal.
• Análise: surge em séries, integrais e soluções de EDOs.

Aproximação numérica rápida

Use a expressão \( \left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n \) com valores grandes de n:

• \( n = 10 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\tfrac{1}{10}\right)^{10} \approx 2,5937 \)
• \( n = 100 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\tfrac{1}{100}\right)^{100} \approx 2,7048 \)
• \( n = 1000 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\tfrac{1}{1000}\right)^{1000} \approx 2,7169 \)
• \( n = 10000 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\tfrac{1}{10000}\right)^{10000} \approx 2,7181 \)

Função exponencial de base e

A função \( f(x) = e^x \) é central no Cálculo e resolve diversos modelos de crescimento e decaimento.

Conclusão

O número e é a constante natural do crescimento contínuo e aparece em quase todos os ramos da Matemática aplicada. Dominar suas definições e interpretações facilita estudos de limites, derivadas, integrais e problemas de concursos. Explore também nosso Banco de Questões para praticar.