OBMEP 2024 – Nível 3 – Questão 4
Enunciado:
No quadriculado, a soma dos elementos de cada linha e de cada coluna são iguais. Qual é o valor de \( a + b – c \)?
Alternativas:
- (A) 6
- (B) 7
- (C) 8
- (D) 9
- (E) 10
Ver Solução
1. Definindo a soma total comum:
Seja \( S \) a soma comum das linhas e colunas.
- 1ª linha: \( a + 11 = S \)
- 2ª linha: \( b + c + 7 = S \)
- 3ª coluna: \( c + 14 = S \)
Somando as duas primeiras e subtraindo a terceira:
\[ S + S – 2(c + 14) = \]\[ a + 11 + b + c + 7 – 2(c + 14) \]\[ = a + b – c + 18 – 28 = \]\[a + b – c – 10 \]Como também temos que essa soma é igual a 0 (soma e subtração da mesma quantidade), temos:
\[ a + b – c – 10 = 0 \]\[\Rightarrow a + b – c = \boxed{10} \]Verificação alternativa:
- Comparando 2ª linha com 3ª coluna: \( 7 + b + c = 8 + c + 6 \Rightarrow b = 7 \)
- Comparando 1ª linha com 3ª coluna: \( 3 + a + 8 = 8 + c + 6 \Rightarrow c = a – 3 \)
- Substituindo: \( a + b – c = a + 7 – (a – 3) = \boxed{10} \)
Resposta correta: (E) 10
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