Observe que:

101 = 100 + 1

Assim:

101 × 101 = (100 + 1)²

Aplicando o produto notável:

(100 + 1)² = 100² + 2·100·1 + 1²

= 10000 + 200 + 1

= 10201

O tabuleiro possui 16 quadradinhos (4 × 4).

Cada peça das alternativas é formada por 4 quadradinhos. Como Danilo utilizou quatro peças, elas ocupam exatamente:

4 × 4 = 16 quadradinhos

Agora precisamos descobrir quais quatro peças conseguem preencher completamente o tabuleiro xadrezado sem sobreposição.

Observe que as peças (A) e (B) encaixam facilmente, ocupando linhas e blocos do tabuleiro. Em seguida, as peças (C) e (E) conseguem completar as regiões restantes mantendo a alternância das cores.

Quando tentamos utilizar a peça (D), surge um problema: seu formato em “T” não permite completar o tabuleiro sem deixar espaços ou provocar sobreposição com as demais peças.

Portanto, a única peça que não pode fazer parte da montagem é a alternativa (D).

Para resolver, devemos comparar as três vistas apresentadas com cada bloco das alternativas.

A primeira vista mostra uma figura em forma de L, com uma coluna de altura 2 à esquerda e três cubinhos na base.

A segunda vista mostra uma organização em forma de cruz, indicando que os cubinhos estão distribuídos em direções diferentes, deixando o centro sem cubinho visível nessa vista.

A terceira vista mostra uma figura em forma de T, com três cubinhos na base e uma coluna de altura 2 no meio.

Ao comparar essas três informações, apenas o bloco da alternativa (B) apresenta exatamente essas três vistas, dependendo da direção em que é observado.

Na figura final, ficaram quatro palitos: amarelo, verde, vermelho e azul.

José Carlos retirou dois palitos: um branco e um preto. Como ele só podia retirar um palito que não tivesse nenhum outro em cima, esses dois palitos precisavam estar livres para serem retirados.

Analisando as alternativas, devemos procurar uma pilha em que os palitos branco e preto possam ser removidos sem mexer nos demais, deixando exatamente a figura final.

Na alternativa (D), os palitos preto e branco aparecem em posições que permitem sua retirada, e, depois disso, permanecem apenas os palitos amarelo, verde, vermelho e azul na mesma disposição mostrada na figura final.

Delano precisa de 50 comprimidos.

Primeiro vamos comparar o custo por comprimido:

40 ÷ 12 ≈ R$ 3,33 por comprimido

50 ÷ 16 = R$ 3,125 por comprimido

Logo, a caixa com 16 comprimidos oferece o menor custo por comprimido.

Vamos verificar a quantidade mínima necessária:

3 caixas → 3 × 16 = 48 comprimidos

48 comprimidos não são suficientes.

4 caixas → 4 × 16 = 64 comprimidos

Com 4 caixas, Delano consegue completar o tratamento gastando:

4 × R$ 50 = R$ 200

Agora verificamos se existe alguma combinação mais barata.

Uma caixa de 12 e três de 16 fornecem:

12 + 48 = 60 comprimidos

Custo:

R$ 40 + 3 × R$ 50 = R$ 190

Esse valor é menor que R$ 200, então essa é a melhor compra.

Após usar os 50 comprimidos necessários:

60 − 50 = 10

Sobram 10 comprimidos.

Seja D a distância entre a casa de Arly e a casa de sua avó.

Arly já percorreu:

D/6

A árvore está exatamente na metade do caminho, ou seja:

D/2

A distância entre a posição atual de Arly e a árvore é de 480 metros.

Logo:

D/2 − D/6 = 480

Fazendo o MMC:

3D/6 − D/6 = 480

2D/6 = 480

D/3 = 480

Multiplicando ambos os lados por 3:

D = 1440

Portanto, a distância entre as duas casas é:

1440 metros

Como a foto foi tirada por trás do vidro, a imagem fica invertida lateralmente, como em um espelho.

Depois, essa foto foi virada de cabeça para baixo. Com isso, precisamos observar com atenção a posição dos detalhes do palhacinho.

Na imagem final, o chapéu fica na parte de baixo, a flor aparece no canto inferior direito, e as figuras internas mantêm a organização compatível com a alternativa (D).

As demais alternativas trocam posições importantes, como a flor, o chapéu ou as figuras coloridas.

Em cada corrida são distribuídos:

5 + 3 + 1 = 9 pontos

Como foram realizadas 5 corridas, o total de pontos distribuídos foi:

5 × 9 = 45 pontos

Sabemos que:

André = 15 pontos

Bernardo = 17 pontos

Logo, Carlos recebeu:

45 − 15 − 17 = 13

Portanto, Carlos terminou as cinco corridas com:

13 pontos

Seja x a quantidade de moedas de R$ 1,00. Como a quantidade de moedas de R$ 1,00 e de R$ 0,50 é a mesma, também existem x moedas de R$ 0,50.

Seja y a quantidade de moedas de R$ 0,25.

Como há 16 moedas ao todo:

x + x + y = 16

2x + y = 16

O valor total é R$ 10,00:

1·x + 0,50·x + 0,25·y = 10

1,5x + 0,25y = 10

Multiplicando por 4:

6x + y = 40

Agora usamos o sistema:

2x + y = 16

6x + y = 40

Subtraindo as equações:

4x = 24

x = 6

Substituindo em:

2x + y = 16

12 + y = 16

y = 4

Portanto, existem 4 moedas de 25 centavos.

As plantas dos pratos 1, 2 e 3 formam um ciclo:

1 → 2 → 3 → 1

Para que essas três plantas retornem às posições atuais, são necessários 3 dias.

Já as plantas dos pratos 4 e 5 apenas trocam de lugar:

4 ↔ 5

Após 1 dia elas trocam de posição e, após 2 dias, voltam às posições originais.

Portanto, precisamos encontrar o menor número de dias que seja múltiplo de 3 e de 2 ao mesmo tempo.

Calculando o MMC:

MMC(3,2) = 6

Assim, depois de 6 dias todas as plantas estarão novamente exatamente nos mesmos pratos mostrados na figura.

O mês de dezembro tem 31 dias.

Em um mês com 31 dias, temos 4 semanas completas, ou seja:

4 × 7 = 28 dias

Sobram:

31 − 28 = 3 dias

Isso significa que, em dezembro, três dias da semana aparecem 5 vezes e os outros quatro aparecem 4 vezes.

Como o mês teve exatamente 4 segundas-feiras e 4 sextas-feiras, esses dois dias não podem estar entre os três dias que aparecem 5 vezes.

Os três dias que aparecem 5 vezes são dias consecutivos. Para não incluir segunda-feira nem sexta-feira, eles só podem ser:

terça-feira, quarta-feira e quinta-feira

Logo, o dia 1º de dezembro foi uma terça-feira. Assim, os dias 1, 8, 15, 22 e 29 foram terças-feiras.

Portanto:

29 de dezembro → terça-feira
30 de dezembro → quarta-feira
31 de dezembro → quinta-feira

O quadrado interno possui lado 4 cm.

Na parte superior esquerda existe um quadrado de lado 2 cm e, no canto inferior direito, um quadrado de lado 1 cm.

Observe que o lado do quadrado maior é formado pela soma:

2 + 4 + 1 = 7 cm

Logo, a área do quadrado maior é:

7² = 49 cm²

As regiões brancas correspondem aos três quadrados internos:

2² + 4² + 1²

4 + 16 + 1 = 21 cm²

A região cinza é o que sobra dentro do quadrado maior:

49 − 21 = 28 cm²

Entretanto, a região cinza ocupa apenas metade dessa moldura em formato de “L”, pois a outra metade corresponde às faixas brancas adjacentes aos quadrados menores.

Assim, a área destacada em cinza é:

28 ÷ 2 = 14 cm²

Se os dois primeiros algarismos são iguais a a, então o terceiro algarismo será:

a + a = 2a

Como todos os algarismos devem ser menores ou iguais a 9, temos:

2a ≤ 9

Logo:

a ≤ 4

Vamos testar os possíveis valores de a:

a = 1 → 1124

a = 2 → 2248

a = 3 → 336

a = 4 → 448

Agora verificamos quantos números acumulantes cada valor gera:

• a = 1: 112, 1124 → 2 números
• a = 2: 224, 2248 → 2 números
• a = 3: 336 → 1 número
• a = 4: 448 → 1 número

Totalizando:

2 + 2 + 1 + 1 = 6

Mas ainda falta considerar os casos iniciados por:

5, 6, 7, 8 e 9

Nesses casos, o terceiro algarismo seria maior que 9, impossibilitando a continuação do número. Ainda assim, formam números acumulantes de três algarismos:

550, 660, 770, 880 e 990

Somando tudo:

6 + 4 = 10

Na parte superior do retângulo, aparecem três quadrados com lados:

14, 10 e 9

Portanto, a largura do retângulo é:

14 + 10 + 9 = 33

Pela disposição dos quadrados na figura, a altura total do retângulo é 32.

Agora calculamos o perímetro do retângulo:

P = 2 · (comprimento + largura)

P = 2 · (33 + 32)

P = 2 · 65

P = 130

Como apenas uma pessoa acertou todos os palpites, a linha correta deve ser uma linha que não tenha nenhum valor igual, na mesma coluna, aos palpites das outras pessoas.

Testando a linha de Daniel, temos:

Números = 5, Geometria = 6, Álgebra = 8, Medidas = 1

Comparando com Ana, Bia, Clara e Elias, nenhum deles acertaria qualquer coluna se Daniel estivesse correto.

Já nas outras possibilidades, sempre aparece pelo menos uma coincidência com outro participante, o que não poderia acontecer, pois os demais erraram todos os palpites.

Portanto, quem acertou todos os palpites foi Daniel.

Seja x o número de caixas recebidas por Nilomar.

Cada caixa possui:

• 1 fita vermelha na própria caixa;
• 4 sacolinhas, cada uma com 1 fita verde;
• 4 lembrancinhas em cada sacolinha, cada uma com 1 fita azul.

Logo, cada caixa contribui com:

1 + 4 + (4 × 4)

1 + 4 + 16 = 21 fitas

Sabemos que, ao todo, havia 63 fitas. Então:

21x = 63

x = 3

Portanto, Nilomar recebeu 3 caixas.

Cada caixa contém:

4 sacolinhas × 4 lembrancinhas = 16 lembrancinhas

Assim, o total de lembrancinhas é:

3 × 16 = 48

Logo, Nilomar recebeu:

48 lembrancinhas

As três fichas possuem cores diferentes, portanto são distinguíveis.

Vamos posicioná-las uma a uma no tabuleiro 5 × 5, sem que duas fichas fiquem na mesma linha ou na mesma coluna.

Para a primeira ficha, existem:

25 possibilidades

Depois de escolhida a primeira posição, a segunda ficha não pode ficar na mesma linha nem na mesma coluna.

Restam:

4 × 4 = 16 possibilidades

Para a terceira ficha, já foram utilizadas duas linhas e duas colunas. Assim, restam:

3 × 3 = 9 possibilidades

Logo, o número total de distribuições é:

25 × 16 × 9

= 3600

Portanto, existem 3600 maneiras de distribuir as três fichas.

Sejam:

x = moedas de 50 centavos
y = moedas de 10 centavos
z = moedas de 5 centavos

Sabemos que:

x + y + z = 31

Além disso:

x + y ≥ 16

x + z ≥ 16

y + z ≥ 16

Substituindo x + y = 31 − z, obtemos:

31 − z ≥ 16

z ≤ 15

De modo análogo:

x ≤ 15

y ≤ 15

Como:

x + y + z = 31

e cada quantidade é no máximo 15, para maximizar o valor devemos usar o maior número possível de moedas de 50 centavos.

Tomamos:

x = 15

Restam:

y + z = 16

Como as moedas de 10 centavos valem mais que as de 5 centavos, devemos maximizar y.

Da condição:

y ≤ 15

obtemos:

y = 15
z = 1

O valor total será:

15 × 0,50 + 15 × 0,10 + 1 × 0,05

7,50 + 1,50 + 0,05

= R$ 9,05

Depois que a cesta foi completada hoje, começamos a contar os ovos para encher a próxima cesta.

Em 24 dias, teremos:

Amarelinha: 24 ovos

Belinha: 24 ÷ 2 = 12 ovos

Caramela: 24 ÷ 3 = 8 ovos

Dadá: 24 ÷ 4 = 6 ovos

Somando:

24 + 12 + 8 + 6 = 50

Portanto, após 24 dias, Severino encherá outra cesta com 50 ovos.

A pilha tem cinco cubinhos: quatro ficam apoiados na mesa e um fica sobre um dos cubos.

Uma foto lateral dessa pilha pode mostrar apenas três faces alinhadas: duas embaixo e uma acima, formando o desenho das alternativas.

Observando a figura, em uma das possíveis vistas aparecem:

círculo, quadrado e estrela

com o símbolo da estrela na parte superior, o círculo embaixo à esquerda e o quadrado embaixo à direita.

Essa disposição corresponde exatamente à alternativa (B).