Operações com Matrizes: Comparação Completa
Nesta página você encontra a comparação entre as quatro operações básicas com matrizes: adição, subtração, multiplicação por número real e multiplicação de matrizes. Esse tema é recorrente em provas do ENEM, vestibulares e concursos.
Tabela Comparativa
| Operação | Definição | Condição | Resultado |
|---|---|---|---|
| Adição | \(C=A+B\) com \(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\) | Mesma ordem | Matriz da mesma ordem |
| Subtração | \(C=A-B=A+(-B)\) | Mesma ordem | Matriz da mesma ordem |
| Multiplicação por escalar | \(C=kA\) com \(c_{ij}=k\cdot a_{ij}\) | Nenhuma restrição | Matriz da mesma ordem |
| Multiplicação de matrizes | \(C=A\cdot B\) com \(c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\) | Colunas de A = Linhas de B | \(m\times p\) |
Exemplos Resolvidos
Exemplo 1 – Adição:
\( A=\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix},\; B=\begin{bmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{bmatrix} \).
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\( A+B=\begin{bmatrix}1+5 & 2+6\\3+7 & 4+8\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}6 & 8\\10 & 12\end{bmatrix}. \)
Exemplo 2 – Subtração:
\( A=\begin{bmatrix}3 & 1\\0 & -2\end{bmatrix},\; B=\begin{bmatrix}1 & 4\\5 & 2\end{bmatrix} \).
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\( A-B=\begin{bmatrix}3-1 & 1-4\\0-5 & -2-2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2 & -3\\-5 & -4\end{bmatrix}. \)
Exemplo 3 – Multiplicação por escalar:
\( A=\begin{bmatrix}2 & -1\\0 & 3\end{bmatrix},\; k=4 \).
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\( 4A=\begin{bmatrix}8 & -4\\0 & 12\end{bmatrix}. \)
Exemplo 4 – Multiplicação de matrizes:
\( A=\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix},\; B=\begin{bmatrix}2 & 0\\1 & 2\end{bmatrix} \).
Mostrar solução
\( A\cdot B=\begin{bmatrix}1\cdot2+2\cdot1 & 1\cdot0+2\cdot2\\ 3\cdot2+4\cdot1 & 3\cdot0+4\cdot2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}4 & 4\\10 & 8\end{bmatrix}. \)
Conclusão
As quatro operações com matrizes possuem definições próprias, mas seguem padrões simples:
- Adição/Subtração: exigem mesma ordem.
- Multiplicação por escalar: sempre possível.
- Multiplicação de matrizes: exige compatibilidade entre colunas de \(A\) e linhas de \(B\).
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