Operações com Números — Guia Completo com Exemplos Passo a Passo
Contexto: em quais conjuntos operamos?
As operações podem ser realizadas em diferentes conjuntos numéricos: Naturais (\(\mathbb{N}\)), Inteiros (\(\mathbb{Z}\)), Racionais (\(\mathbb{Q}\)), Irracionais e Reais (\(\mathbb{R}\)). Para entender a hierarquia, veja o guia sobre Conjuntos Numéricos.
Ordem de operações (prioridades)
Use sempre esta ordem para evitar erros:
- Parênteses e colchetes;
- Potências e raízes;
- Multiplicações e divisões (da esquerda para a direita);
- Adições e subtrações (da esquerda para a direita).
Propriedades Fundamentais das Operações
As operações básicas — adição, subtração, multiplicação e divisão — possuem comportamentos diferentes quanto às propriedades matemáticas. Veja cada uma delas separadamente:
➕ Adição
- Comutativa: Sim → \(a + b = b + a\)
- Associativa: Sim → \((a + b) + c = a + (b + c)\)
- Elemento neutro: \(0\), pois \(a + 0 = a\)
- Distributiva: Não se aplica → a adição não distribui sobre outra operação.
➖ Subtração
- Comutativa: Não → \(a – b \neq b – a\)
- Associativa: Não → \((a – b) – c \neq a – (b – c)\)
- Elemento neutro: Não definido.
- Distributiva: Não se aplica.
✖ Multiplicação
- Comutativa: Sim → \(a \cdot b = b \cdot a\)
- Associativa: Sim → \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)
- Elemento neutro: \(1\), pois \(a \cdot 1 = a\)
- Distributiva: Sim → \(a(b + c) = ab + ac\)
➗ Divisão
- Comutativa: Não → \(a \div b \neq b \div a\)
- Associativa: Não → \((a \div b) \div c \neq a \div (b \div c)\)
- Elemento neutro: Não definido.
- Distributiva: Não se aplica.
Dica: A propriedade distributiva é exclusiva da multiplicação sobre a adição ou subtração. Por isso ela não se aplica às outras operações.
Regras de sinais
- Adição/Subtração de inteiros: conserve o sinal do maior módulo e subtraia os módulos; sinais iguais somam os módulos.
- Multiplicação/Divisão:
- \((+)\times(+)=+\), \((−)\times(−)=+\)
- \((+)\times(−)=−\), \((−)\times(+)=−\)
Precisa reforçar paridade e sinais? Consulte Números Pares e Ímpares.
Operações com frações
Mesmo denominador
Denominadores diferentes
Multiplicação
Divisão
Operações com números decimais
- Adição/Subtração: alinhe as vírgulas.
- Multiplicação: multiplique como inteiros; ao final, conte casas decimais.
- Divisão: torne o divisor inteiro deslocando as vírgulas simultaneamente no dividendo e no divisor.
Potências e raízes
- Mesma base: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) e \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) (com \(a\neq0\)).
- Potência de potência: \((a^m)^n = a^{mn}\).
- Radiciação: \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\) (para \(a,b\ge0\)); simplifique fatores quadrados.
Exemplos práticos resolvidos (passo a passo)
1) Inteiros com sinais e parênteses
Calcule: \(-18 + 35 – ( -12 ) + 7\)
- Remova o parêntese: “\(-(-12)\)” vira “\(+12\)”.
- Some na ordem: \(-18 + 35 = 17\).
- Some \(+12\): \(17 + 12 = 29\).
- Some \(+7\): \(29 + 7 = 36\).
Resposta: \(36\).
2) Frações com denominadores diferentes
Calcule: \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} – \dfrac{2}{3}\)
- MMC(4,6,3) = 12.
- Reescreva: \(3/4 = 9/12\), \(5/6 = 10/12\), \(2/3 = 8/12\).
- Some/subtraia: \(9/12 + 10/12 – 8/12 = 11/12\).
Resposta: \(\dfrac{11}{12}\).
3) Multiplicação e simplificação de frações
Calcule: \(\dfrac{14}{15} \times \dfrac{25}{42}\)
- Simplifique cruzado: \(14\) com \(42\) → divide por 14: \(14/42=1/3\).
- Simplifique \(25\) com \(15\) → divide por 5: \(25/15=5/3\).
- Fica: \(\dfrac{1}{3} \times \dfrac{5}{3} = \dfrac{5}{9}\).
Resposta: \(\dfrac{5}{9}\).
4) Divisão de frações
Calcule: \(\dfrac{5}{12} \div \dfrac{3}{8}\)
- Multiplique pelo inverso: \(\dfrac{5}{12} \times \dfrac{8}{3}\).
- Simplifique: \(8/12=2/3\).
- Resultado: \(\dfrac{5}{1} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{3}=3\dfrac{1}{3}\).
Resposta: \(\dfrac{10}{3}\).
5) Decimais
a) \(12{,}75 + 3{,}6\) • b) \(4{,}2 \times 0{,}35\) • c) \(7{,}2 \div 0{,}3\)
- a) Alinhe vírgulas: \(12{,}75 + 3{,}60 = 16{,}35\).
- b) Multiplique como inteiros: \(42 \times 35 = 1470\). Contam-se 3 casas decimais ao todo → \(1{,}470 = 1{,}47\).
- c) Torne o divisor inteiro: \(7{,}2 \div 0{,}3 = 72 \div 3 = 24\).
Respostas: a) \(16{,}35\) • b) \(1{,}47\) • c) \(24\).
6) Potências e raízes
a) \(2^3 \cdot 2^5\) • b) \(3^4 \div 3^2\) • c) \(\sqrt{50}\)
- a) Mesma base: \(2^{3+5}=2^8=256\).
- b) Mesma base: \(3^{4-2}=3^2=9\).
- c) Fatorize: \(50=25\cdot2\Rightarrow \sqrt{50}=5\sqrt{2}\).
Respostas: a) \(256\) • b) \(9\) • c) \(5\sqrt{2}\).
7) Ordem de operações
Calcule: \(6 + 4\cdot(9-5)^2 \div 8\)
- Parênteses: \(9-5=4\).
- Potência: \(4^2=16\).
- Multiplicação/Divisão: \(4\cdot16=64\); \(64 \div 8 = 8\).
- Adição: \(6+8=14\).
Resposta: \(14\).
8) Irracionais na prática
Simplifique: \(\sqrt{2} + \sqrt{8}\) e calcule \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}\).
- \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) ⇒ soma: \(\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\).
- Produto: \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\) (racional!).
Revisite os conceitos em Números Irracionais e Números Reais.
Exercícios propostos
- \(-27 + 15 – ( -9 ) + 4\)
- \(\dfrac{7}{12} – \dfrac{5}{18}\)
- \(\dfrac{21}{28} \times \dfrac{16}{35}\) (simplifique antes)
- \(3{,}48 + 12{,}7 – 0{,}95\)
- \(5^2 \cdot 5^3 \div 5^4\)
- \(8 + 3 \cdot \big( 10 – 4^2 \big) \div 2\)
Gabarito comentado
1) \(-27 + 15 = -12\); \(-12 – (-9) = -3\); \(-3 + 4 = 1\). Resp.: 1.
3) Simplifique: \(21/28=3/4\) e \(16/35=16/35\). Cruzado \(4\) com \(16\) ⇒ \(1\) e \(4\). Resultado: \((3/1)\cdot(4/35)=12/35\). Resp.: \(12/35\).
4) \(3{,}48 + 12{,}70 = 16{,}18\); \(16{,}18 – 0{,}95 = 15{,}23\). Resp.: \(15{,}23\).
5) \(5^{2+3-4}=5^1=5\). Resp.: 5.
6) Parênteses: \(4^2=16\) ⇒ \(10-16=-6\). Depois: \(3\cdot(-6)=-18\). Divisão: \(-18\div2=-9\). Soma: \(8+(-9)=-1\). Resp.: \(-1\).