Paralelepípedo — Geometria Espacial (fórmulas, exemplos e exercícios)
Guia prático de paralelepípedo (geometria): área total, área lateral, volume, diagonal, planificação, diferenças entre reto e oblíquo, exemplos resolvidos e exercícios com gabarito.
1) O que é paralelepípedo?
Paralelepípedo é um prisma cujas faces opostas são paralelogramos. Quando todas as faces são retângulos, temos o paralelepípedo retângulo (ou prisma retangular). O cubo é um caso particular em que \(a=b=c\).
- Faces: 6 Arestas: 12 Vértices: 8
- Reto: arestas laterais perpendiculares à base | Oblíquo: arestas laterais inclinadas.
2) Fórmulas do paralelepípedo
Volume
Retângulo: \(V=a\cdot b\cdot c\)
Geral (reto/oblíquo): \(V=A_{\text{base}}\cdot h\) (área da base \(\times\) altura perpendicular).
Área total
Retângulo: \(A_t=2(ab+ac+bc)\)
Soma das áreas das 6 faces (pares congruentes).
Área lateral
Base \(a\times b\), altura \(c\): \(A_l=2c(a+b)\)
Observação: a expressão de \(A_l\) muda conforme a base escolhida. Se a base for \(b\times c\), então \(A_l=2a(b+c)\); se for \(a\times c\), \(A_l=2b(a+c)\).
Diagonal espacial e diagonais das faces
Diagonal do sólido (retângulo): \(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
Diagonais das faces: \(d_{ab}=\sqrt{a^2+b^2}\), \(d_{ac}=\sqrt{a^2+c^2}\), \(d_{bc}=\sqrt{b^2+c^2}\).
A fórmula \(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) vale para o paralelepípedo retângulo. Em paralelepípedos oblíquos, a diagonal depende também dos ângulos entre as arestas.
Planificação
Mostra as 6 faces (retângulos ou paralelogramos). Em paralelepípedo retângulo, a planificação exibe a área total \(A_t\) em uma única malha.
3) Exemplos resolvidos
Enunciado. Paralelepípedo retângulo com \(a=8\ \text{cm}\), \(b=5\ \text{cm}\) e \(c=3\ \text{cm}\). Calcule \(V\), \(A_t\) e \(d\).
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Volume
$$\begin{aligned} V&=a\cdot b\cdot c\\ &=8\cdot5\cdot3\\ &=120\ \text{cm}^3 \end{aligned}$$Área total
$$\begin{aligned} A_t&=2(ab+ac+bc)\\ &=2(8\cdot5+8\cdot3+5\cdot3)\\ &=2(40+24+15)\\ &=2\cdot79\\ &=\mathbf{158\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$Diagonal espacial
$$\begin{aligned} d&=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\ &=\sqrt{8^2+5^2+3^2}\\ &=\sqrt{64+25+9}\\ &=\sqrt{98}\\ &=\mathbf{7\sqrt{2}}\ \text{cm}\\ &\approx 9{,}90\ \text{cm} \end{aligned}$$Enunciado. Uma caixa retangular tem base \(30\ \text{cm}\times20\ \text{cm}\) e altura \(0{,}5\ \text{m}\). Quanto cabe em litros?
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$$\begin{aligned} 0{,}5\ \text{m}&=50\ \text{cm}\\[4pt] V&=30\cdot20\cdot50\\ &=30\,000\ \text{cm}^3\\ &=\mathbf{30\ \text{L}}\quad(\text{pois }1000\ \text{cm}^3=1\ \text{L}) \end{aligned}$$Enunciado. Num paralelepípedo retângulo, \(A_l=2c(a+b)=1{,}44\ \text{m}^2\), com \(a=0{,}6\ \text{m}\) e \(b=0{,}9\ \text{m}\). Ache \(c\).
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$$\begin{aligned} A_l&=2c(a+b)\\ 1{,}44&=2c(0{,}6+0{,}9)\\ 1{,}44&=2c\cdot1{,}5\\ 1{,}44&=3c\\ c&=\mathbf{0{,}48\ \text{m}} \end{aligned}$$Enunciado. Paralelepípedo oblíquo com área da base \(A_{\text{base}}=72\ \text{cm}^2\) e altura perpendicular \(h=11\ \text{cm}\). Determine o volume.
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$$\begin{aligned} V&=A_{\text{base}}\cdot h\\ &=72\cdot11\\ &=\mathbf{792\ \text{cm}^3} \end{aligned}$$Enunciado. Em um paralelepípedo retângulo, a diagonal espacial vale \(d=26\ \text{cm}\) e \(a=10\ \text{cm}\), \(b=18\ \text{cm}\). Calcule \(c\).
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$$\begin{aligned} d^2&=a^2+b^2+c^2\\ 26^2&=10^2+18^2+c^2\\ 676&=100+324+c^2\\ 676&=424+c^2\\ c^2&=252\\ c&=\mathbf{6\sqrt{7}\ \text{cm}}\\ &\approx 15{,}87\ \text{cm} \end{aligned}$$
4) Erros comuns
- Confundir área total \(2(ab+ac+bc)\) com área lateral \(2c(a+b)\) (para base \(a\times b\)).
- Não padronizar unidades (misturar cm com m) antes de calcular área/volume.
- Usar \(d=\sqrt{a^2+b^2}\) (diagonal da face) como se fosse a diagonal espacial \(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).
- No oblíquo, usar “altura inclinada” em vez da altura perpendicular à base.
5) Questões sobre paralelepípedo (múltipla escolha)
O volume de um paralelepípedo retângulo com arestas \(a,b,c\) é:
- A) \(ab+ac+bc\)
- B) \(2(ab+ac+bc)\)
- C) \(a\cdot b\cdot c\)
- D) \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
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Gabarito: C.
$$\begin{aligned} V&=a\cdot b\cdot c \end{aligned}$$Com base \(a\times b\) e altura \(c\), a área lateral do paralelepípedo retângulo é:
- A) \(2(ab+ac+bc)\)
- B) \(2c(a+b)\)
- C) \(ab\)
- D) \(a^2+b^2+c^2\)
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Gabarito: B.
$$\begin{aligned} A_l&=2c(a+b) \end{aligned}$$Qual expressão dá a diagonal espacial do paralelepípedo retângulo?
- A) \(\sqrt{a^2+b^2}\)
- B) \(\sqrt{a^2+c^2}\)
- C) \(\sqrt{b^2+c^2}\)
- D) \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
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Gabarito: D.
$$\begin{aligned} d&=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \end{aligned}$$Para \(a=6\ \text{cm}\), \(b=4\ \text{cm}\), \(c=5\ \text{cm}\), a área total é:
- A) \(2(24+30+20)=148\ \text{cm}^2\)
- B) \(2(24+30+9)=126\ \text{cm}^2\)
- C) \(2(10+24+30)=128\ \text{cm}^2\)
- D) \(2(12+20+30)=124\ \text{cm}^2\)
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Gabarito: A.
$$\begin{aligned} A_t&=2(ab+ac+bc)\\ &=2(6\cdot4+6\cdot5+4\cdot5)\\ &=2(24+30+20)\\ &=2\cdot74\\ &=\mathbf{148\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$Um paralelepípedo oblíquo tem área da base \(A_{\text{base}}=48\ \text{cm}^2\) e altura perpendicular \(h=7\ \text{cm}\). O volume é:
- A) \(48+7\)
- B) \(48\cdot7\)
- C) \(2(48\cdot7)\)
- D) \(\sqrt{48^2+7^2}\)
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Gabarito: B.
$$\begin{aligned} V&=A_{\text{base}}\cdot h\\ &=48\cdot7\\ &=\mathbf{336\ \text{cm}^3} \end{aligned}$$Se a diagonal da face da base (retângulo \(a\times b\)) é \(10\ \text{cm}\) e \(a=6\ \text{cm}\), então \(b\) vale:
- A) \(8\ \text{cm}\)
- B) \(6\ \text{cm}\)
- C) \(4\ \text{cm}\)
- D) \(10\ \text{cm}\)
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Gabarito: A.
$$\begin{aligned} d_{ab}&=\sqrt{a^2+b^2}=10\\ 10^2&=6^2+b^2\\ 100&=36+b^2\\ b^2&=64\\ b&=\mathbf{8\ \text{cm}} \end{aligned}$$
6) Perguntas frequentes
| Paralelepípedo é prisma? | Sim. É um prisma cujas faces são paralelogramos (retângulos no caso retângulo). |
|---|---|
| Diferença entre paralelepípedo reto e oblíquo? | No reto, as arestas laterais são perpendiculares à base; no oblíquo, são inclinadas. O volume geral é \(A_{\text{base}}\cdot h\). |
| Qual a fórmula da diagonal? | No retângulo: \(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\). No oblíquo, depende dos ângulos. |
| Como converter volume para litros? | \(1\ \text{L}=1000\ \text{cm}^3=0{,}001\ \text{m}^3\). Ex.: \(30\,000\ \text{cm}^3=30\ \text{L}\). |
