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Questão de Analise Combinatória – Permutação e Arranjo
No sistema decimal, quantos números de cinco algarismos (sem repetição) podemos escrever, de modo que os algarismos 0 (zero), 2 (dois) e 4 (quatro) apareçam agrupados?
Observação: Considere somente números de 5 algarismos em que o primeiro algarismo é diferente de zero.
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1 – Análise Combinatória – Permutação Simples com Restrição
Neste problema, queremos determinar o número de números de cinco algarismos que podem ser formados sem repetição, sob as condições:
- Os algarismos 0, 2, 4 devem aparecer agrupados.
- O número deve ter 5 algarismos, e o primeiro algarismo não pode ser 0.
2 – Entendendo o enunciado
- Tratamos o grupo 0, 2, 4 como um único bloco denotado por 🟣.
- Os números possíveis são compostos por 🟣 e dois outros dígitos escolhidos entre os restantes (1, 3, 5, 6, 7, 8, 9).
- Temos três configurações possíveis para a posição do bloco 🟣:
- _ 🟣 _
- _ _ 🟣
- 🟣 _ _.
- Dentro do bloco 🟣 (0, 2, 4), os algarismos podem ser permutados entre si, mas no caso 🟣 _ _, as permutações que começam com 00 devem ser descartadas.
3 – Cálculo
Caso 1: _ 🟣 _
- Os dois algarismos restantes (x1, x2) são escolhidos entre os 7 dígitos restantes (1, 3, 5, 6, 7, 8, 9):
A(7, 2) = 7⋅6 = 42
- Dentro do bloco 🟣 (0, 2, 4), as permutações possíveis são:
P(3) = 3! = 6
- Total de possibilidades para este caso:
42⋅6 = 252
Caso 2: _ _ 🟣
Este caso é idêntico ao primeiro, pois a posição do bloco 🟣 muda, mas as permutações seguem a mesma lógica: 42⋅6 = 252
Caso 3: 🟣 _ _
- Os dois algarismos restantes (x1, x2) são escolhidos entre os 7 dígitos restantes:
A(7, 2) = 42
- Dentro do bloco 🟣 (0, 2, 4), descartamos as permutações que começam com 00. Das 6 permutações possíveis, 2 são inválidas (0, 2, 4 e 0, 4, 2):
P(3) − 2 = 4
- Total de possibilidades para este caso:
42⋅4 = 168
Total Geral:
Somamos os resultados de todos os casos:
252 + 252 + 168 = 672
4 – Resposta
O número total de números de cinco algarismos que podem ser formados, de modo que 0, 2, 4 apareçam agrupados e o primeiro dígito seja diferente de zero, é 672.
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