Pontos Críticos

Pontos Críticos — Guia Completo com Exemplos e Exercícios

Pontos Críticos — Guia Completo

Chamamos \(c\) de ponto crítico de \(f\) quando \(c\) pertence ao domínio de \(f\) e ocorre ao menos uma das condições:

\[ f'(c)=0 \qquad \text{ou} \qquad f'(c) \text{ não existe.} \]

Pontos críticos são candidatos a máximos/mínimos locais, mas nem todo ponto crítico é extremo. A classificação pode ser feita pelo Teste da Primeira Derivada (mudança de sinal de \(f’\)) ou pelo teste da segunda derivada.

Definição de Derivada Regras de Derivação Produto & Quociente Exponenciais Logarítmicas Trigonométricas Trigonométricas inversas Teste da Primeira Derivada

1) Tipos e observações importantes

Estacionário: \(f'(c)=0\) (tangente horizontal).
Não diferenciável: \(f'(c)\) não existe mas \(c\) está no domínio (canto/cúspide/vertical).
Fora do domínio: pontos onde \(f\) não está definida não são críticos (mas podem ser assíntotas, etc.).
Extremos globais em intervalos fechados pedem checar também as extremidades do intervalo (que não são pontos críticos, em geral).

2) Como encontrar pontos críticos (passo a passo)

Domínio: determine \(D_f\).
Derive: calcule \(f'(x)\).
Zere a derivada: resolva \(f'(x)=0\) (pontos estacionários).
Onde \(f’\) não existe: liste \(x\) em que \(f'(x)\) não existe, mas \(x\in D_f\) (pontos não diferenciáveis).
Classifique: use o Teste da Primeira Derivada ou \(f”\).

Dica: \(f'(c)=0\) ou \(f’\) não existe \(\not\Rightarrow\) extremo. É necessário inspecionar o sinal de \(f’\) (ou \(f”\)).

3) Exemplos resolvidos

Exemplo A — Polinômio

Verifique os pontos críticos e classifique para \(f(x)=x^2+2x-4\).

Solução

\[ f'(x)=2x+2=0 \;\Longrightarrow\; x=-1. \] \[ f”(x)=2>0 \Rightarrow \text{mínimo local.} \]

\[ f(-1)=(-1)^2+2(-1)-4=-5. \]

Crítico: \(x=-1\) (mínimo local em \((-1,-5)\)).

Exemplo B — Raiz quadrada

Para \(f(x)=\sqrt{x}\), determine os pontos críticos.

Solução

Domínio \(D_f=[0,+\infty)\).

\[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\quad (x>0), \qquad f'(0)\ \text{não existe}. \]

Logo, \(x=0\) é ponto crítico (não-diferenciável). Como \(f'(x)>0\) para \(x>0\), temos mínimo local em \((0,0)\).

Exemplo C — Valor absoluto

Para \(f(x)=|x|\), determine o(s) ponto(s) crítico(s) e classifique.

Solução

\[ f'(x)=\begin{cases} -1,& x<0,\\[4pt] \text{não existe},& x=0,\\[4pt] +1,& x>0. \end{cases} \]

Crítico: \(x=0\) (não-diferenciável) e é mínimo local.

Exemplo D — Racional

Para \(f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}\), ache os críticos e classifique.

Solução

Domínio \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

\[ f'(x)=\frac{(2x)(x-1)-x^2}{(x-1)^2} =\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}. \]

Críticos: \(x=0\) e \(x=2\) (derivada nula). O ponto \(x=1\) não pertence ao domínio.

Analisando sinais: crescente em \((-\infty,0)\) e \((2,+\infty)\); decrescente em \((0,1)\) e \((1,2)\).

\[ f(0)=0 \;(\text{máximo}) \qquad f(2)=4 \;(\text{mínimo}). \]

Exemplo E — Trigonométrica suave

Para \(f(x)=x-\sin x\), determine os críticos e classifique.

Solução

\[ f'(x)=1-\cos x\ge 0,\quad f'(x)=0 \Longleftrightarrow \cos x=1 \Longleftrightarrow x=2\pi k. \]

Como \(f'(x)\ge 0\) e zera apenas em \(2\pi k\), cada \(x=2\pi k\) é um mínimo (plano).

4) Exercícios propostos

\(f(x)=x^3-3x^2+2\). Encontre todos os pontos críticos, classifique-os e dê os valores de \(f\).
Mostrar solução
\[ f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0 \Rightarrow x=0,\,2. \] \[ f”(x)=6x-6. \]
\(x=0:\ f”(0)=-6<0\Rightarrow\) máximo; \(f(0)=2\).
\(x=2:\ f”(2)=6>0\Rightarrow\) mínimo; \(f(2)=8-12+2=-2\).
\(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\). Determine os críticos e classifique.
Mostrar solução
\[ f'(x)=\frac{(x^2+1)-2x^2}{(x^2+1)^2} =\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=0 \Longleftrightarrow x=\pm1. \]
Denominador \(>0\). Logo \(f’>0\) se \(|x|<1\) e \(f'<0\) se \(|x|>1\).
Trocas: \(x=-1\) (−→+) mínimo \(f(-1)=-\tfrac12\); \(x=1\) (+→−) máximo \(f(1)=\tfrac12\).
\(f(x)=x^{2/3}\). Liste o(s) ponto(s) crítico(s) e diga se há extremo.
Mostrar solução
\[ f'(x)=\frac{2}{3}\,x^{-1/3},\ x\ne0;\quad f'(0)\ \text{não existe}. \]
\(x=0\) é crítico (não-diferenciável). Como \(f’<0\) para \(x<0\) e \(f'>0\) para \(x>0\), há mínimo em \((0,0)\).
\(f(x)=\sqrt{x^2+1}\). Encontre os pontos críticos e classifique-os.
Mostrar solução
\[ f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=0 \Longleftrightarrow x=0. \] \[ f”(x)=\frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}>0. \]
Logo \(x=0\) é mínimo e \(f(0)=1\).
\(f(x)=\ln x – x\) (domínio \(x>0\)). Ache os críticos e classifique.
Mostrar solução
\[ f'(x)=\frac{1}{x}-1=0 \Longleftrightarrow x=1. \] \[ f”(x)=-\frac{1}{x^2}<0. \]
Em \(x=1\) ocorre máximo e \(f(1)=-1\).
\(f(x)=x^4-4x^2\). Determine todos os críticos e classifique-os.
Mostrar solução
\[ f'(x)=4x(x^2-2)=0 \Rightarrow x=0,\ \pm\sqrt{2}. \] \[ f”(x)=12x^2-8. \]
\(x=0:\ f”(0)=-8<0\Rightarrow\) máximo, \(f(0)=0\).
\(x=\pm\sqrt2:\ f”=16>0\Rightarrow\) mínimos, \(f(\pm\sqrt2)=-4\).
\(f(x)=x^3+x\). Verifique se há pontos críticos.
Mostrar solução
\[ f'(x)=3x^2+1>0 \quad \forall x. \]
Não há solução para \(f'(x)=0\) nem lugares onde \(f’\) não exista \(\Rightarrow\) sem pontos críticos (função estritamente crescente).
\(f(x)=x^{1/3}\). Identifique pontos críticos e diga se há extremos.
Mostrar solução
\[ f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3},\ x\ne0;\quad f'(0)\ \text{não existe}. \]
\(x=0\) é crítico (não-diferenciável), mas \(f'(x)>0\) nos dois lados ⇒ não é extremo.
\(f(x)=\sin x+\cos x\). Determine e classifique os críticos.
Mostrar solução
\[ f'(x)=\cos x-\sin x=\sqrt2\,\cos\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right). \] \[ f'(x)=0 \Longleftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi. \]
Logo \(f’>0\) em \(\big(-\tfrac{3\pi}{4}+2k\pi,\ \tfrac{\pi}{4}+2k\pi\big)\) e \(f’<0\) em \(\big(\tfrac{\pi}{4}+2k\pi,\ \tfrac{5\pi}{4}+2k\pi\big)\). Máx. em \(x=\tfrac{\pi}{4}+2k\pi\) e mín. em \(x=\tfrac{5\pi}{4}+2k\pi\).
\(f(x)=x e^{x}\). Encontre o crítico e classifique-o.
Mostrar solução
\[ f'(x)=e^{x}(1+x)=0 \Longleftrightarrow x=-1. \] \[ f”(x)=e^{x}(2+x) \Rightarrow f”(-1)=\frac{1}{e}>0. \]
Logo \(x=-1\) é mínimo e \(f(-1)=-\dfrac{1}{e}\).

5) Quadro-resumo — Tabelas de sinais de \(f'(x)\)

Exercício 1 — \(f'(x)=3x(x-2)\)
Intervalo	Sinal de \(f'(x)\)	Observação
\((-\infty,0)\)	\(+\)	zero em \(x=0\)
\((0,2)\)	\(-\)	zero em \(x=2\)
\((2,\infty)\)	\(+\)	—

Exercício 2 — \(f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\)
Intervalo	Sinal	Zeros
\((-\infty,-1)\)	\(-\)	em \(x=\pm1\)
\((-1,1)\)	\(+\)
\((1,\infty)\)	\(-\)

Exercício 3 — \(f'(x)=\dfrac{2}{3}x^{-1/3}\)
Intervalo	Sinal	Observação
\((-\infty,0)\)	\(-\)	\(f’\) não existe em \(x=0\)
\((0,\infty)\)	\(+\)	\(f’\) não existe em \(x=0\)

Exercício 4 — \(f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)
Intervalo	Sinal	Zero
\((-\infty,0)\)	\(-\)	em \(x=0\)
\((0,\infty)\)	\(+\)	em \(x=0\)

Exercício 5 — \(f'(x)=\dfrac{1}{x}-1\) (domínio \(x>0\))
Intervalo	Sinal	Zero
\((0,1)\)	\(+\)	em \(x=1\)
\((1,\infty)\)	\(-\)	em \(x=1\)

Exercício 6 — \(f'(x)=4x(x^2-2)\)
Intervalo	Sinal	Zeros
\((-\infty,-\sqrt2)\)	\(-\)	em \(x=0,\ \pm\sqrt2\)
\((-\sqrt2,0)\)	\(+\)
\((0,\sqrt2)\)	\(-\)
\((\sqrt2,\infty)\)	\(+\)

Exercício 7 — \(f'(x)=3x^2+1\)
Intervalo	Sinal	Observação
\((-\infty,\infty)\)	\(+\)	sempre positivo (sem críticos)

Exercício 8 — \(f'(x)=\dfrac{1}{3}x^{-2/3}\)
Intervalo	Sinal	Observação
\((-\infty,0)\)	\(+\)	\(f’\) não existe em \(x=0\)
\((0,\infty)\)	\(+\)	\(f’\) não existe em \(x=0\)

Exercício 9 — \(f'(x)=\cos x-\sin x=\sqrt2\,\cos(x+\tfrac{\pi}{4})\)
Intervalos (por período)	Sinal	Zeros
\(\big(-\tfrac{3\pi}{4}+2k\pi,\ \tfrac{\pi}{4}+2k\pi\big)\)	\(+\)	\(x=\tfrac{\pi}{4}+k\pi\)
\(\big(\tfrac{\pi}{4}+2k\pi,\ \tfrac{5\pi}{4}+2k\pi\big)\)	\(-\)	\(x=\tfrac{\pi}{4}+k\pi\)

Exercício 10 — \(f'(x)=e^{x}(1+x)\)
Intervalo	Sinal	Zero
\((-\infty,-1)\)	\(-\)	em \(x=-1\)
\((-1,\infty)\)	\(+\)	em \(x=-1\)

6) Para continuar estudando

Prossiga com estes guias relacionados:

Teste da Primeira Derivada Definição de Derivada Regras de Derivação Produto e Quociente Exponenciais Logarítmicas Trigonométricas Trigonométricas inversas

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.