Pontos Críticos — Guia Completo
Chamamos \(c\) de ponto crítico de \(f\) quando \(c\) pertence ao domínio de \(f\) e ocorre ao menos uma das condições:
Pontos críticos são candidatos a máximos/mínimos locais, mas nem todo ponto crítico é extremo. A classificação pode ser feita pelo Teste da Primeira Derivada (mudança de sinal de \(f’\)) ou pelo teste da segunda derivada.
1) Tipos e observações importantes
- Estacionário: \(f'(c)=0\) (tangente horizontal).
- Não diferenciável: \(f'(c)\) não existe mas \(c\) está no domínio (canto/cúspide/vertical).
- Fora do domínio: pontos onde \(f\) não está definida não são críticos (mas podem ser assíntotas, etc.).
- Extremos globais em intervalos fechados pedem checar também as extremidades do intervalo (que não são pontos críticos, em geral).
2) Como encontrar pontos críticos (passo a passo)
- Domínio: determine \(D_f\).
- Derive: calcule \(f'(x)\).
- Zere a derivada: resolva \(f'(x)=0\) (pontos estacionários).
- Onde \(f’\) não existe: liste \(x\) em que \(f'(x)\) não existe, mas \(x\in D_f\) (pontos não diferenciáveis).
- Classifique: use o Teste da Primeira Derivada ou \(f”\).
Dica: \(f'(c)=0\) ou \(f’\) não existe \(\not\Rightarrow\) extremo. É necessário inspecionar o sinal de \(f’\) (ou \(f”\)).
3) Exemplos resolvidos
Exemplo A — Polinômio
Verifique os pontos críticos e classifique para \(f(x)=x^2+2x-4\).
Solução
Crítico: \(x=-1\) (mínimo local em \((-1,-5)\)).
Exemplo B — Raiz quadrada
Para \(f(x)=\sqrt{x}\), determine os pontos críticos.
Solução
Domínio \(D_f=[0,+\infty)\).
Logo, \(x=0\) é ponto crítico (não-diferenciável). Como \(f'(x)>0\) para \(x>0\), temos mínimo local em \((0,0)\).
Exemplo C — Valor absoluto
Para \(f(x)=|x|\), determine o(s) ponto(s) crítico(s) e classifique.
Solução
Crítico: \(x=0\) (não-diferenciável) e é mínimo local.
Exemplo D — Racional
Para \(f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}\), ache os críticos e classifique.
Solução
Domínio \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
Críticos: \(x=0\) e \(x=2\) (derivada nula). O ponto \(x=1\) não pertence ao domínio.
Analisando sinais: crescente em \((-\infty,0)\) e \((2,+\infty)\); decrescente em \((0,1)\) e \((1,2)\).
Exemplo E — Trigonométrica suave
Para \(f(x)=x-\sin x\), determine os críticos e classifique.
Solução
Como \(f'(x)\ge 0\) e zera apenas em \(2\pi k\), cada \(x=2\pi k\) é um mínimo (plano).
4) Exercícios propostos
-
\(f(x)=x^3-3x^2+2\). Encontre todos os pontos críticos, classifique-os e dê os valores de \(f\).
Mostrar solução
\[ f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0 \Rightarrow x=0,\,2. \] \[ f”(x)=6x-6. \]\(x=0:\ f”(0)=-6<0\Rightarrow\) máximo; \(f(0)=2\).
\(x=2:\ f”(2)=6>0\Rightarrow\) mínimo; \(f(2)=8-12+2=-2\).
-
\(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\). Determine os críticos e classifique.
Mostrar solução
\[ f'(x)=\frac{(x^2+1)-2x^2}{(x^2+1)^2} =\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=0 \Longleftrightarrow x=\pm1. \]Denominador \(>0\). Logo \(f’>0\) se \(|x|<1\) e \(f'<0\) se \(|x|>1\).
Trocas: \(x=-1\) (−→+) mínimo \(f(-1)=-\tfrac12\); \(x=1\) (+→−) máximo \(f(1)=\tfrac12\).
-
\(f(x)=x^{2/3}\). Liste o(s) ponto(s) crítico(s) e diga se há extremo.
Mostrar solução
\[ f'(x)=\frac{2}{3}\,x^{-1/3},\ x\ne0;\quad f'(0)\ \text{não existe}. \]\(x=0\) é crítico (não-diferenciável). Como \(f’<0\) para \(x<0\) e \(f'>0\) para \(x>0\), há mínimo em \((0,0)\).
-
\(f(x)=\sqrt{x^2+1}\). Encontre os pontos críticos e classifique-os.
Mostrar solução
\[ f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=0 \Longleftrightarrow x=0. \] \[ f”(x)=\frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}>0. \]Logo \(x=0\) é mínimo e \(f(0)=1\).
-
\(f(x)=\ln x – x\) (domínio \(x>0\)). Ache os críticos e classifique.
Mostrar solução
\[ f'(x)=\frac{1}{x}-1=0 \Longleftrightarrow x=1. \] \[ f”(x)=-\frac{1}{x^2}<0. \]Em \(x=1\) ocorre máximo e \(f(1)=-1\).
-
\(f(x)=x^4-4x^2\). Determine todos os críticos e classifique-os.
Mostrar solução
\[ f'(x)=4x(x^2-2)=0 \Rightarrow x=0,\ \pm\sqrt{2}. \] \[ f”(x)=12x^2-8. \]\(x=0:\ f”(0)=-8<0\Rightarrow\) máximo, \(f(0)=0\).
\(x=\pm\sqrt2:\ f”=16>0\Rightarrow\) mínimos, \(f(\pm\sqrt2)=-4\).
-
\(f(x)=x^3+x\). Verifique se há pontos críticos.
Mostrar solução
\[ f'(x)=3x^2+1>0 \quad \forall x. \]Não há solução para \(f'(x)=0\) nem lugares onde \(f’\) não exista \(\Rightarrow\) sem pontos críticos (função estritamente crescente).
-
\(f(x)=x^{1/3}\). Identifique pontos críticos e diga se há extremos.
Mostrar solução
\[ f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3},\ x\ne0;\quad f'(0)\ \text{não existe}. \]\(x=0\) é crítico (não-diferenciável), mas \(f'(x)>0\) nos dois lados ⇒ não é extremo.
-
\(f(x)=\sin x+\cos x\). Determine e classifique os críticos.
Mostrar solução
\[ f'(x)=\cos x-\sin x=\sqrt2\,\cos\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right). \] \[ f'(x)=0 \Longleftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi. \]Logo \(f’>0\) em \(\big(-\tfrac{3\pi}{4}+2k\pi,\ \tfrac{\pi}{4}+2k\pi\big)\) e \(f’<0\) em \(\big(\tfrac{\pi}{4}+2k\pi,\ \tfrac{5\pi}{4}+2k\pi\big)\). Máx. em \(x=\tfrac{\pi}{4}+2k\pi\) e mín. em \(x=\tfrac{5\pi}{4}+2k\pi\).
-
\(f(x)=x e^{x}\). Encontre o crítico e classifique-o.
Mostrar solução
\[ f'(x)=e^{x}(1+x)=0 \Longleftrightarrow x=-1. \] \[ f”(x)=e^{x}(2+x) \Rightarrow f”(-1)=\frac{1}{e}>0. \]Logo \(x=-1\) é mínimo e \(f(-1)=-\dfrac{1}{e}\).
5) Quadro-resumo — Tabelas de sinais de \(f'(x)\)
| Intervalo | Sinal de \(f'(x)\) | Observação |
|---|---|---|
| \((-\infty,0)\) | \(+\) | zero em \(x=0\) |
| \((0,2)\) | \(-\) | zero em \(x=2\) |
| \((2,\infty)\) | \(+\) | — |
| Intervalo | Sinal | Zeros |
|---|---|---|
| \((-\infty,-1)\) | \(-\) | em \(x=\pm1\) |
| \((-1,1)\) | \(+\) | |
| \((1,\infty)\) | \(-\) |
| Intervalo | Sinal | Observação |
|---|---|---|
| \((-\infty,0)\) | \(-\) | \(f’\) não existe em \(x=0\) |
| \((0,\infty)\) | \(+\) |
| Intervalo | Sinal | Zero |
|---|---|---|
| \((-\infty,0)\) | \(-\) | em \(x=0\) |
| \((0,\infty)\) | \(+\) |
| Intervalo | Sinal | Zero |
|---|---|---|
| \((0,1)\) | \(+\) | em \(x=1\) |
| \((1,\infty)\) | \(-\) |
| Intervalo | Sinal | Zeros |
|---|---|---|
| \((-\infty,-\sqrt2)\) | \(-\) | em \(x=0,\ \pm\sqrt2\) |
| \((-\sqrt2,0)\) | \(+\) | |
| \((0,\sqrt2)\) | \(-\) | |
| \((\sqrt2,\infty)\) | \(+\) |
| Intervalo | Sinal | Observação |
|---|---|---|
| \((-\infty,\infty)\) | \(+\) | sempre positivo (sem críticos) |
| Intervalo | Sinal | Observação |
|---|---|---|
| \((-\infty,0)\) | \(+\) | \(f’\) não existe em \(x=0\) |
| \((0,\infty)\) | \(+\) |
| Intervalos (por período) | Sinal | Zeros |
|---|---|---|
| \(\big(-\tfrac{3\pi}{4}+2k\pi,\ \tfrac{\pi}{4}+2k\pi\big)\) | \(+\) | \(x=\tfrac{\pi}{4}+k\pi\) |
| \(\big(\tfrac{\pi}{4}+2k\pi,\ \tfrac{5\pi}{4}+2k\pi\big)\) | \(-\) |
| Intervalo | Sinal | Zero |
|---|---|---|
| \((-\infty,-1)\) | \(-\) | em \(x=-1\) |
| \((-1,\infty)\) | \(+\) |
6) Para continuar estudando
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