Potência com Expoente Irracional
As potências com expoente irracional são aquelas em que o expoente não pode ser escrito como uma fração exata (razão de dois números inteiros), como é o caso de \( \sqrt{2} \), \( \pi \), ou \( \sqrt[3]{5} \). Como não conseguimos representar com precisão infinita esses números, usamos aproximações racionais para estimar os resultados.
🔢 Exemplo: Como calcular \( 10^{\sqrt{2}} \)
Vamos usar aproximações sucessivas para \( \sqrt{2} \) por falta (valores menores) e por excesso (valores maiores):
| n | \( 10^n \) | n | \( 10^n \) |
|---|---|---|---|
| 1,4 | 25,11886432 | 1,5 | 31,62277660 |
| 1,41 | 25,70395783 | 1,42 | 26,30267992 |
| 1,414 | 25,94179362 | 1,415 | 26,00159563 |
| 1,4142 | 25,95374301 | 1,4143 | 25,95971977 |
| 1,41421 | 25,95344062 | 1,41422 | 25,95493825 |
| 1,414213 | 25,95451991 | 1,414214 | 25,95457967 |
Com base nos valores acima, podemos afirmar:
$$ 25{,}95451991 < 10^{\sqrt{2}} < 25{,}95457967 $$
📌 Observação
Se \( a \) é um número real positivo e \( x \) um número irracional, podemos obter aproximações racionais para \( a^x \) atribuindo a \( x \) valores por falta e por excesso, com quantas casas decimais desejarmos.
Assim como as potências com expoentes inteiros e racionais, as potências com expoentes irracionais seguem as mesmas propriedades algébricas.
📚 Exemplos
a) \( (10^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = 10^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 10^2 = 100 \)
b) \( 2^\pi \cdot 2^{3\pi} = 2^{\pi + 3\pi} = 2^{4\pi} \)
c) \( 9^{\sqrt{5}} \cdot 9^{-\sqrt{5}} = 9^0 = 1 \)
d)
$$ \left(\frac{2}{5}\right)^{\sqrt{3}} = \frac{2^{\sqrt{3}}}{5^{\sqrt{3}}} $$
🧪 Exercício Resolvido
📌 Ex.: Calcule uma aproximação de \( 5^{\sqrt{2}} \) com duas casas decimais
Sabendo que \( \sqrt{2} \approx 1,41 \):
$$ 5^{\sqrt{2}} \approx 5^{1,41} \approx \text{use calculadora: } 15,45 $$✅ Resposta aproximada: \( \boxed{15,45} \)
