Produto dos n Primeiros Termos da P.G. (Pn) — Progressão Geométrica

Seja uma P.G. (também chamada de sequência geométrica) $(a_n)$ com $a_1$ e razão $q$. O produto dos $n$ primeiros termos — isto é, o produto parcial geométrico — denotado por $P_n$, é:

$Produto dos n primeiros termos da progressão geométrica (PG), também chamado de produto parcial ou produto cumulativo: Pn = a1^n · q^{n(n-1)/2}$

Fórmula de Pn (produto parcial da PG)

$$P_n = a_1^{\,n}\cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}\qquad (n\ge1)$$

Dedução rápida (sequência geométrica)

Escreva os $n$ primeiros termos: $a_1,\ a_1q,\ a_1q^2,\ \dots,\ a_1q^{n-1}$.

Multiplicando (produto cumulativo):

$P_n = a_1\cdot a_1q\cdot a_1q^2\cdots a_1q^{n-1}$
$= (a_1)^n \cdot q^{\,0+1+2+\cdots+(n-1)}$
$= a_1^{\,n}\cdot q^{\,\frac{(n-1)n}{2}}$.

Usamos a soma dos naturais consecutivos: $0+1+\cdots+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}$.

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Exemplos resolvidos (PG)

Exemplo 1 — Produto dos 5 primeiros termos

Para $a_1=3$ e $q=2$, calcule $P_5$.

$P_5 = a_1^{5}\cdot q^{\frac{5\cdot4}{2}}$
$= 3^{5}\cdot 2^{10}$
$= 243 \cdot 1024$
$= 248{,}832$.

Exemplo 2 — Descobrindo n a partir de Pn

Uma P.G. tem $a_1=2$ e $q=3$. Sabendo que $P_n=2^{n}\cdot3^{\frac{n(n-1)}{2}}=2\cdot3^{6}$, determine $n$.

Compare potências:
$2^{n}=2^{1}\Rightarrow n=1$. Verificando o expoente de 3: $\frac{n(n-1)}{2}=6\Rightarrow n(n-1)=12\Rightarrow n=4$ (válido).
O par que atende ambos é $n=4$; logo a igualdade escrita como produto único corresponde a $n=4$.
Resposta: $n=4$.

Exercícios (múltipla escolha) — produto parcial

1) Cálculo direto

Para $a_1=5$ e $q=3$, o valor de $P_4$ é:

A) $5^{4}\cdot 3^{4}$
B) $5^{4}\cdot 3^{6}$
C) $5^{4}\cdot 3^{3}$
D) $5^{3}\cdot 3^{6}$

$P_4=5^{4}\cdot 3^{\frac{4\cdot3}{2}}=5^{4}\cdot3^{6}$.
Resposta: B ✅

2) Produto numérico

Na P.G. $a_1=2$ e $q=2$, $P_6$ vale:

A) $2^{6}\cdot 2^{15}$
B) $2^{6}\cdot 2^{10}$
C) $2^{6}\cdot 2^{6}$
D) $2^{5}\cdot 2^{10}$

$P_6=2^{6}\cdot 2^{\frac{6\cdot5}{2}}=2^{6}\cdot2^{15}=2^{21}$.
Resposta: A ✅

3) Encontrando a razão

Uma P.G. possui $a_1=3$ e $P_4=3^{4}\cdot 27$. A razão $q$ é:

A) $q=2$
B) $q=3$
C) $q=\sqrt{3}$
D) $q=\dfrac{27}{9}$

Pela fórmula: $P_4=3^{4}\cdot q^{\frac{4\cdot3}{2}}=3^{4}\cdot q^{6}$.
Dado $P_4=3^{4}\cdot 27=3^{4}\cdot 3^{3}=3^{7}\Rightarrow q^{6}=3^{3}\Rightarrow q=3^{1/2}=\sqrt{3}$.
Resposta: C ✅

4) Misturando com termo geral

Numa P.G. $a_1=4$, $q= \dfrac{1}{2}$. O produto $P_5$ é:

A) $4^{5}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}$
B) $4^{5}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}$
C) $4^{5}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\! \frac{5\cdot4}{2}}$
D) $4^{4}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\! 10}$

$P_5=4^{5}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}$ porque $\frac{5\cdot4}{2}=10$.
Resposta: A ✅

5) Comparando produtos consecutivos

Para qualquer P.G. com $a_1\neq0$ e $q\neq0$, a razão $\dfrac{P_{n+1}}{P_n}$ é:

A) $a_{n+1}$
B) $q^{n}$
C) $a_1\cdot q^{n}$
D) $a_n$

$P_{n+1}=\prod_{k=1}^{n+1} a_k = \left(\prod_{k=1}^{n} a_k\right)\cdot a_{n+1}=P_n\cdot a_{n+1}\Rightarrow \dfrac{P_{n+1}}{P_n}=a_{n+1}$.
Resposta: A ✅