Guia Completo: Progressão Geométrica (PG)
Tudo sobre progressão geométrica (também chamada de sequência geométrica): definição, classificação, propriedades, termo geral, interpolação, produto dos primeiros termos e soma de PG finita — com exemplos e exercícios.
1) Conceitos fundamentais
- Definição de progressão geométrica: recorrência \(a_n=a_{n-1}\,q\) e construção dos termos.
- Classificação: crescente, decrescente, alternante, constante e singular.
- Propriedades úteis: formas com 3/4/5 termos, média geométrica e termos equidistantes.
2) Fórmulas essenciais
2.1 Termo geral (n-ésimo termo)
Explicação completa em termo geral da progressão geométrica:
$$a_n=a_1\,q^{\,n-1}$$
2.2 Soma dos n primeiros termos (PG finita)
Veja demonstrações e exemplos em soma dos termos da PG finita:
$$S_n=\frac{a_1(q^{\,n}-1)}{q-1}\ (q\ne1)\qquad\text{e}\qquad S_n=n\,a_1\ (q=1)$$
2.3 Produto dos n primeiros termos
Dedução detalhada em produto dos n primeiros termos da PG:
$$P_n=a_1^{\,n}\cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}$$
2.4 Interpolação geométrica (inserir k meios)
Quando inserimos \(k\) meios geométricos entre \(a\) e \(b\) (extremos), formamos uma PG com \(n=k+2\) termos. Em interpolação geométrica você encontra:
$$q=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}$$
3) Exemplos comentados
Exemplo A — termo pedido
PG com \(a_1=5\) e \(q=3\). Encontre \(a_6\).
\(a_6=5\cdot3^{5}=1215\).
Exemplo B — soma com \(0
PG com \(a_1=12\) e \(q=\tfrac12\). Calcule \(S_6\).
\(S_6=\dfrac{12((1/2)^6-1)}{(1/2)-1}= \dfrac{756}{64}\approx11{,}8125\).
Exemplo C — inserir 2 meios entre 3 e 24
Queremos \(k=2\) meios geométricos.
\(q=\sqrt[3]{24/3}=2\). Sequência: \(3,6,12,24\).
4) Exercícios (múltipla escolha)
1) Classificação do comportamento da PG
Considere a progressão geométrica \((a_n)\) de números reais com primeiro termo \(a_1=-8\) e razão \(q=\tfrac12\).
Classifique a sequência quanto ao seu comportamento global.
- A) crescente
- B) decrescente
- C) alternante
- D) constante
Com \(a_1<0\) e \(0crescente.
Resposta: A ✅
(Veja classificação da progressão geométrica.)
2) Soma de PG finita (valor exato)
Seja a PG \((a_n)\) com \(a_1=3\) e \(q=2\). Calcule a soma dos cinco primeiros termos, \(S_5\),
utilizando a fórmula fechada para \(q\neq 1\). Marque o valor exato.
- A) 93
- B) 96
- C) 120
- D) 90
\(S_5=\dfrac{a_1(q^5-1)}{q-1}=\dfrac{3(2^5-1)}{2-1}=3(31)=93\).
Resposta: A ✅
(Veja soma dos termos da PG finita.)
3) Produto dos n primeiros termos
Na PG \((a_n)\) com \(a_1=2\) e razão \(q=2\), determine o produto dos quatro primeiros termos,
\(P_4=\prod_{k=1}^{4} a_k\), usando a fórmula do produto parcial.
- A) \(2^{4}\cdot2^{6}\)
- B) \(2^{4}\cdot2^{3}\)
- C) \(2^{4}\cdot2^{4}\)
- D) \(2^{4}\cdot2^{10}\)
\(P_4=a_1^{4}\,q^{\frac{4\cdot3}{2}}=2^{4}\cdot2^{6}=2^{10}\).
Resposta: A ✅
(Veja produto dos n primeiros termos.)
4) Termo geral com dado intermediário
Uma PG de reais possui \(a_1=3\) e \(a_3=48\). Supondo \(q>0\), determine a razão \(q\).
- A) 4
- B) 8
- C) \(\sqrt{3}\)
- D) 16
Do termo geral: \(a_3=a_1q^2\Rightarrow 48=3q^2\Rightarrow q^2=16\Rightarrow q=4\) (pela hipótese \(q>0\)).
Resposta: A ✅
(Veja termo geral da PG.)
5) Interpolação geométrica (contagem de meios)
Deseja-se construir uma PG que inicia em \(2\) e termina em \(162\), com razão \(q=3\).
Quantos meios geométricos devem ser inseridos entre os extremos para que a sequência seja estritamente geométrica?
- A) 2
- B) 3
- C) 4
- D) 5
Se \(a_n=162\) e \(a_1=2\), então \(162=2\cdot3^{\,n-1}\Rightarrow 3^{\,n-1}=81=3^4\Rightarrow n=5\).
Como \(n=k+2\) (dois extremos + \(k\) meios), segue \(k=3\).
Resposta: B ✅
(Veja interpolação geométrica.)
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Formas 3/4/5 termos, média geométrica, termos equidistantes.
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Termo geral da P.G.
Encontre \(a_n\) com \(a_n=a_1q^{n-1}\).
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Interpolação geométrica
Inserir k meios geométricos entre dois números.
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Produto dos n primeiros termos
Fórmula \(P_n=a_1^n q^{n(n-1)/2}\) com exemplos.
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Soma dos termos de PG finita
Fechamento com \(S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}\).
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PG com \(a_1=12\) e \(q=\tfrac12\). Calcule \(S_6\).
\(S_6=\dfrac{12((1/2)^6-1)}{(1/2)-1}= \dfrac{756}{64}\approx11{,}8125\).
Exemplo C — inserir 2 meios entre 3 e 24
Queremos \(k=2\) meios geométricos.
\(q=\sqrt[3]{24/3}=2\). Sequência: \(3,6,12,24\).
4) Exercícios (múltipla escolha)
1) Classificação do comportamento da PG
Considere a progressão geométrica \((a_n)\) de números reais com primeiro termo \(a_1=-8\) e razão \(q=\tfrac12\). Classifique a sequência quanto ao seu comportamento global.
- A) crescente
- B) decrescente
- C) alternante
- D) constante
Com \(a_1<0\) e \(0
Resposta: A ✅
(Veja classificação da progressão geométrica.)
2) Soma de PG finita (valor exato)
Seja a PG \((a_n)\) com \(a_1=3\) e \(q=2\). Calcule a soma dos cinco primeiros termos, \(S_5\), utilizando a fórmula fechada para \(q\neq 1\). Marque o valor exato.
- A) 93
- B) 96
- C) 120
- D) 90
\(S_5=\dfrac{a_1(q^5-1)}{q-1}=\dfrac{3(2^5-1)}{2-1}=3(31)=93\).
Resposta: A ✅
(Veja soma dos termos da PG finita.)
3) Produto dos n primeiros termos
Na PG \((a_n)\) com \(a_1=2\) e razão \(q=2\), determine o produto dos quatro primeiros termos, \(P_4=\prod_{k=1}^{4} a_k\), usando a fórmula do produto parcial.
- A) \(2^{4}\cdot2^{6}\)
- B) \(2^{4}\cdot2^{3}\)
- C) \(2^{4}\cdot2^{4}\)
- D) \(2^{4}\cdot2^{10}\)
\(P_4=a_1^{4}\,q^{\frac{4\cdot3}{2}}=2^{4}\cdot2^{6}=2^{10}\).
Resposta: A ✅
(Veja produto dos n primeiros termos.)
4) Termo geral com dado intermediário
Uma PG de reais possui \(a_1=3\) e \(a_3=48\). Supondo \(q>0\), determine a razão \(q\).
- A) 4
- B) 8
- C) \(\sqrt{3}\)
- D) 16
Do termo geral: \(a_3=a_1q^2\Rightarrow 48=3q^2\Rightarrow q^2=16\Rightarrow q=4\) (pela hipótese \(q>0\)).
Resposta: A ✅
(Veja termo geral da PG.)
5) Interpolação geométrica (contagem de meios)
Deseja-se construir uma PG que inicia em \(2\) e termina em \(162\), com razão \(q=3\). Quantos meios geométricos devem ser inseridos entre os extremos para que a sequência seja estritamente geométrica?
- A) 2
- B) 3
- C) 4
- D) 5
Se \(a_n=162\) e \(a_1=2\), então \(162=2\cdot3^{\,n-1}\Rightarrow 3^{\,n-1}=81=3^4\Rightarrow n=5\).
Como \(n=k+2\) (dois extremos + \(k\) meios), segue \(k=3\).
Resposta: B ✅
(Veja interpolação geométrica.)
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Definição de progressão geométrica
Recorrência, exemplos e primeiros passos.
Abrir →Classificação da progressão geométrica
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