Na matemática básica, especialmente na parte da álgebra, os produtos notáveis têm uma função super importante. Eles ajudam bastante na hora de simplificar e mexer com expressões complicadas. São como regras que a gente usa pra fazer contas mais fácil. Aqui nesse texto, a gente vai falar um pouco sobre esses produtos, mostrando por que são tão úteis e dando uns exemplos pra ilustrar como funcionam na prática.
O que são Produtos Notáveis?
Produtos notáveis são tipo fórmulas que usamos bastante na matemática. Eles aparecem muito e seguem uns padrões específicos. Por isso que chamamos eles de “notáveis”, porque são famosos e muito utilizados. Tem uns tipos básicos, como o quadrado de um binômio, a diferença de quadrados e o produto da soma pela diferença. Esses são os mais comuns que usamos pra facilitar a vida na hora de fazer contas.
Agora vamos conhecer cada um desses “Produtos Notáveis”
1 – Colocar em evidência
E de fundamental importância observar fatores em comum na soma e na diferença, esse produto notável é fundamental para simplificar expressões. Em muitos casos, podemos tornar expressões complexar em sentenças mais simples e assim facilitar as contas.
a(b + c) = ab + ac
2 – Quadrado da soma
O produto notável (Quadrado da soma) que representa o quadrado da soma dos dois termos é a seguinte:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Quadrado da soma: Desse modo, dizemos que o quadrado da soma de dois termos é o quadrado do primeiro tremo mias duas vezes o primeiro vezes o segundo termo mais o quadrado do segundo termo.
3 – Quadrado da diferença
O produto notável (Quadrado da diferença) que representa o quadrado da diferença dos dois termos é a seguinte:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Quadrado da diferença: Desse modo, dizemos que o quadrado da diferença de dois termos é o quadrado do primeiro tremo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo termo mais o quadrado do segundo termo
4 – Produto da Soma Pela Diferença
O produto notável (Produto da Soma Pela Diferença) que representa o produto da soma pela diferença de dois termos é a seguinte:
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Produto da Soma Pela Diferença: Quando aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação, podemos observar que o resultado da expressão é a subtração do quadrado do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo.
5 – Cubo da Soma
O produto notável (Cubo da Soma) que representa a soma da de dois termos elevado ao cubo é a seguinte:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Cubo da Soma: O cubo do primeiro termo, acrescido de três vezes o primeiro termo ao quadrado multiplicado pelo segundo termo, somado a três vezes o primeiro termo multiplicado pelo segundo termo ao quadrado, e finalmente somado ao cubo do segundo termo
6 – Cubo da Diferença
O produto notável (Cubo da Diferença) que representa a diferença da de dois termos elevado ao cubo é a seguinte:
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Cubo da Diferença: O cubo do primeiro termo, menos de três vezes o primeiro termo ao quadrado multiplicado pelo segundo termo, somado a três vezes o primeiro termo multiplicado pelo segundo termo ao quadrado, e finalmente subtraído ao cubo do segundo termo
7 – Soma do Cubo
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
Cubo da soma: o cubo do primeiro termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo termo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo, e finalmente o cubo do segundo termo.
8 – Diferença do Cubo
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Diferença do Cubo: é igual a diferença do primeiro pelo segundo multiplicado pelo quadrado do primeiro, mais o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo.
9 – O Quadrado da Soma de Três Números
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Leia também
Fatoração: Um Guia Completo e de Fácil Leitura
Lista de exercício produtos notáveis
1 – Calcule os quadrados.
a) (2x + 5)2 =
b) (a3b + ab3)2 =
c) Calcule o quadrado da soma de (2x + 3)2.
d) Determine o quadrado da diferença de (5a − 2b)2.
e) Encontre o produto da soma pela diferença de (3x + 4)2 − (3x − 4)2.
f) Simplifique a expressão (2x + 5)(2x − 5).
g) Fatore o polinômio x2 − 9 usando um produto notável.
h) Expanda (a + 2b)3.
i) Resolva a expressão (4x − 3)3 − (4x + 3)3.
j) Determine o produto de (x + 3)2 por (x − 3)2.
l) Simplifique (2x − 1)(2x + 1).
m) Calcule (3x + 2)2 − (3x − 2)2.
2 – (FUVEST) Se 3x2 – 9x + 7 = (x – a)3 – (x – b)3, para todo número real x ,o valor de ܽa + b é
A)3.
B) 5.
C)6
D)9.
E)12.
3 – (IF-AL) Determine o valor do produto (3x + 2y)², sabendo que 9x² + 4y² = 25 e xy = 2.
A)27.
B) 31.
C) 38.
D) 49.
E) 54.
4 – Calcule o quadrado da soma: (3a + 4b)2
5 – Calcule o quadrado da soma: (x + 5)2
6 – Calcule o quadrado da diferença: (7x − 2)2
7 – Calcule o quadrado da diferença: (5m − 9n)2
8 – Calcule o produto da soma pela diferença: (x + 3)(x − 3)
9 – Calcule o produto da soma pela diferença: (2a + 5b)(2a − 5b)
10 – Calcule o cubo da soma: (x + 4)3
11 – Calcule o cubo da soma: (a + 2b)3
12 – Calcule o cubo da diferença: (3x − 2)3
13 – Calcule o cubo da diferença: (5m − n)3
