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PROFMAT 2021 – Questão 7 | Números e Fatores Primos
Seja \(N\) o menor número inteiro positivo pelo qual se deve multiplicar \(2520\) para que o resultado seja o quadrado de um número natural. A soma dos algarismos de \(N\) é:
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Resposta correta: (E)
Fazemos a fatoração de \(2520\):
\[ 2520 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \]
Para que o número seja um quadrado perfeito, **todos os expoentes dos fatores primos devem ser pares**.
- O expoente de \(2\) é 3 → precisa de mais 1 fator 2.
- O expoente de \(3\) já é par.
- O expoente de \(5\) é 1 → precisa de mais 1 fator 5.
- O expoente de \(7\) é 1 → precisa de mais 1 fator 7.
Logo, o menor número a multiplicar \(2520\) é:
\[ N = 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70 \]
Soma dos algarismos de \(N\): \[ 7 + 0 = 7 \]
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