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PROFMAT 2022 – Questão 9 | Conjuntos e Equações
Considere os conjuntos:
\[ M = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy – x^3 + 2x^2 – 2x = 0 \}, \quad N = \{(x,y) \in M \mid x = y \} \]
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Podemos afirmar que \( N \):
Ver solução passo a passo
Resposta correta: (D)
Temos que \((x,y) \in N\) se, e somente se, \(x=y\) e:
\[ xy – x^3 + 2x^2 – 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 – x^3 + 2x^2 – 2x = 0 \]
Simplificando:
\[ x^3 – 3x^2 + 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x^2 – 3x + 2) = 0 \]
Resolvendo cada fator:
- \(x = 0\)
- \(x^2 – 3x + 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ ou } x = 2\)
Logo, o conjunto \( N \) tem três elementos:
\[ N = \{ (0,0), (1,1), (2,2) \} \]
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