Progressão Aritmética (PA) — Guia Completo
Definição, características, termo geral, soma dos n primeiros termos, classificação e problemas resolvidos. Cada tópico traz 2 exercícios resolvidos (abre/fecha) e há um bloco final com 10 questões de múltipla escolha. Para contraste com a multiplicação termo a termo, veja também Progressão Geométrica (PG).
Definição e Características
Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando uma constante razão (r) ao termo anterior. Essa constante pode ser positiva, negativa ou zero.
- Primeiro termo: \(a_1\)
- Razão: \(r\) (diferença constante)
- Tipos: crescente (\(r>0\)), decrescente (\(r<0\)) e constante (\(r=0\)).
Exercícios do tópico
Ex. 1 — Identifique a razão e o tipo. Sequência: \(12, 9, 6, 3, \dots\). Encontre \(r\) e classifique a PA.
Ver solução
Ex. 2 — Verifique se é PA. Sequência: \(2, 6, 10, 14, \dots\). As diferenças são constantes?
Ver solução
Termo Geral da PA
Para encontrar um termo qualquer \(a_n\), utilize a fórmula do termo geral:
\(a_1=2,\; r=3,\; n=12 \Rightarrow a_{12} = 2 + 11\cdot 3 = 35.\)
Em PG, o termo geral é multiplicativo (potências da razão), não aditivo.
Exercícios do tópico
Ex. 1 — Calcule \(a_{20}\). Em uma PA com \(a_1=7\) e \(r=5\), determine \(a_{20}\).
Ver solução
Ex. 2 — Descubra \(a_1\). Em uma PA, \(a_8=50\) e \(r=4\). Determine \(a_1\).
Ver solução
Soma dos n Primeiros Termos da PA
Há duas formas usuais de calcular a soma \(S_n\):
\(a_{20}=105\) ⇒ \(S_{20}=\dfrac{20(10+105)}{2}=1150.\)
Para somas em PG, a fórmula depende de potências da razão e é diferente.
Exercícios do tópico
Ex. 1 — Calcule \(S_{12}\). Em uma PA com \(a_1=4\) e \(r=3\), encontre \(S_{12}\).
Ver solução
Ex. 2 — Use a fórmula sem \(a_n\). Em uma PA com \(a_1=5\), \(r=2\), \(n=15\), calcule \(S_{15}\).
Ver solução
Classificação da PA
| Tipo | Condição | Exemplo |
|---|---|---|
| Crescente | \(r > 0\) | \(2, 5, 8, 11, \dots\) |
| Decrescente | \(r < 0\) | \(100, 80, 60, 40, \dots\) |
| Constante | \(r = 0\) | \(7, 7, 7, 7, \dots\) |
Em PG, analisamos o sinal e o módulo da razão geométrica para entender o comportamento (cresce, decresce, oscila).
Exercícios do tópico
Ex. 1 — Classifique e encontre \(r\). Sequência: \( -4,\ -1,\ 2,\ 5,\dots \)
Ver solução
Ex. 2 — Constante? Sequência: \( 9,\ 9,\ 9,\ 9,\dots \)
Ver solução
Problemas Envolvendo PA
Problema 1 — Reajuste anual (estilo ENEM). Um funcionário inicia com salário de R$ 2.000,00 e recebe aumento fixo de R$ 300,00 ao ano. Qual será o salário no 8º ano?
Ver solução
Resposta: R$ 4.100,00.
Problema 2 — Soma de parcelas em PA. Uma TV é vendida em 12 parcelas formando PA: a primeira é R$ 50,00 e a última R$ 160,00. Qual o total pago?
Ver solução
Resposta: R$ 1.260,00.
Exercícios do tópico
Ex. 1 — Produção mensal. Uma fábrica produz 500 peças no 1º mês e aumenta 40 peças por mês. Quantas no 9º mês?
Ver solução
Ex. 2 — Economia pessoal. João guarda R$ 120 no 1º mês e acrescenta R$ 15 a cada mês. Quanto terá guardado após 12 meses?
Ver solução
Total: R$ 2.430,00.
Se o aumento fosse percentual (multiplicativo), modelaríamos com progressão geométrica.
Resumo das Fórmulas
| Fórmula | Descrição |
|---|---|
| \(a_n = a_1 + (n-1)r\) | Termo geral |
| \(S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}\) | Soma usando o último termo |
| \(S_n = \dfrac{n}{2}\,[\,2a_1 + (n-1)r\,]\) | Soma substituindo \(a_n\) pelo termo geral |
| \(r = a_n – a_{n-1}\) | Razão |
Quer comparar com as fórmulas de soma e termo geral em PG? Acesse este guia de Progressão Geométrica.
Exercícios de Múltipla Escolha com solução
Marque uma alternativa em cada questão. Ao responder, a explicação será aberta no sistema de abre e fecha.
Ver solução
Ver solução
Ver solução
Ver solução
Ver solução
Ver solução
Ver solução
Ver solução
Ver solução
Ver solução
Conclusão e Próximos Passos
A Progressão Aritmética (PA) modela variações constantes e aparece em contextos financeiros, planejamentos, análise de dados e provas. Dominar o termo geral e as fórmulas de soma permite resolver rapidamente questões típicas de concursos e vestibulares.
Para situações em que a variação é percentual/multiplicativa (crescimento por fatores), estude a Progressão Geométrica (PG) como complemento natural deste guia.
