Propriedades da Potenciação
Tudo o que você precisa sobre potências: conceitos, propriedades, exemplos comentados e exercícios.
- \(a\) é a base;
- \(n\) é o expoente;
- se \(n\in\mathbb{N}\), então \(a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ vezes}}\).
1) Produto de potências de mesma base
Exemplo: \(3^{4}\cdot 3^{2}=3^{6}=729\).
2) Quociente de potências de mesma base
Exemplo: \(\dfrac{4^{5}}{4^{3}}=4^{5-3}=4^{2}=16\).
3) Potência de potência
Exemplo: \((6^{2})^{3}=6^{2\cdot3}=6^{6}=46\,656\).
4) Potência de um produto
Exemplo: \((5\cdot 4)^{3}=5^{3}\cdot4^{3}=125\cdot64=8\,000\).
5) Potência de um quociente
Exemplo: \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}=\dfrac{2^{3}}{3^{3}}=\dfrac{8}{27}\).
6) Expoente zero
Justificativa curta: \(\dfrac{a^{n}}{a^{n}}=a^{n-n}=a^{0}=1\).
7) Expoente negativo
Exemplo: \(10^{-3}=\dfrac{1}{10^{3}}=\dfrac{1}{1000}\).
8) Expoente fracionário (radiciação)
Exemplo: \(27^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^{2}=3^{2}=9\).
9) Sinal com base negativa
• \(a^{\text{par}}>0\) (resultado positivo);
• \(a^{\text{ímpar}}<0\) (resultado negativo).
Exemplo: \((-2)^{4}=16\) e \((-2)^{3}=-8\).
10) Reescrita em base comum (estratégia de resolução)
Em problemas, é comum reescrever números na mesma base para aplicar as propriedades anteriores. Ex.: \(8=2^{3}\), \(27=3^{3}\), \(125=5^{3}\), \(0{,}01=10^{-2}\), etc.
Exemplos resolvidos (passo a passo vertical)
Exemplo 1: Simplifique \( \dfrac{3^{8}\cdot 3^{-2}}{3^{5}} \).
\( \dfrac{3^{8}\cdot 3^{-2}}{3^{5}} = \dfrac{3^{8-2}}{3^{5}} \)
\( = \dfrac{3^{6}}{3^{5}} \)
\( = 3^{6-5} \)
= \(3^{1}=3\)
Exemplo 2: Calcule \( (4^{\frac{3}{2}})\cdot(4^{-\frac{1}{2}}) \).
\( 4^{\frac{3}{2}} \cdot 4^{-\frac{1}{2}} = 4^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}} \)
\( = 4^{\frac{2}{2}} \)
= \(4^{1}=4\)
Exemplo 3: Determine o valor de \(x\) em \( 5^{2x-1}= \dfrac{125}{25} \).
\( \dfrac{125}{25} = \dfrac{5^{3}}{5^{2}} = 5^{3-2}=5^{1} \)
Logo \( 5^{2x-1}=5^{1}\Rightarrow 2x-1=1 \)
\( 2x=2 \)
\( x=1 \)
Erros comuns (e como evitar)
- Cuidado \( (a+b)^{n}\neq a^{n}+b^{n} \) em geral. Use binômio de Newton quando necessário.
- Domínio Expoentes fracionários com denominador par exigem \(a\ge0\) para permanecer nos reais.
- Sinal \(-3^{2}=-9\) porque a potência tem precedência: é \(-(3^{2})\). Já \((-3)^{2}=9\).
Exercícios (múltipla escolha)
1. Simplifique \( \dfrac{2^{7}\cdot 2^{-3}}{2^{2}} \).
- a) \(2^{2}\)
- b) \(2^{3}\)
- c) \(2^{4}\)
- d) \(2^{5}\)
\(2^{7-3-2}=2^{2}\). Resp.: (a)
2. \( (9^{\frac{1}{2}})^{3} = \) ?
- a) \(27\)
- b) \(9\sqrt{9}\)
- c) \(3^{3}\)
- d) \( \sqrt[3]{9^{2}} \)
\((9^{1/2})^{3}=9^{3/2}=(\sqrt{9})^{3}=3^{3}=27\). Resp.: (a)
3. Resolva \( 4^{x}\cdot 2^{3}= 2^{9} \).
\(4^{x}=(2^{2})^{x}=2^{2x}\).
\(2^{2x}\cdot 2^{3}=2^{9}\Rightarrow 2x+3=9\Rightarrow 2x=6\Rightarrow \boldsymbol{x=3}\).
4. Calcule \( \left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2} \).
- a) \(\dfrac{9}{25}\)
- b) \(\dfrac{25}{9}\)
- c) \(\dfrac{15}{1}\)
- d) \( \left(\dfrac{5}{3}\right)^{2} \)
\(\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}=\dfrac{25}{9}\). Resp.: (b)
5. Simplifique \( (a^{3}b^{-2})^{2}\cdot \dfrac{b^{3}}{a} \) (com \(a,b\neq0\)).
\((a^{3}b^{-2})^{2}=a^{6}b^{-4}\).
\(a^{6}b^{-4}\cdot \dfrac{b^{3}}{a}=a^{6-1}b^{-4+3}=a^{5}b^{-1}=\dfrac{a^{5}}{b}\).
Conclusão
Dominar as propriedades da potenciação permite simplificar expressões com segurança, resolver equações exponenciais básicas e interpretar resultados com precisão. Sempre verifique condições como base nula, sinal de base negativa e domínio para expoentes fracionários.
© matematicaoje.blog — Potenciação com exemplos claros e objetivos.
