A 200 km da costa do estado do Rio de Janeiro está localizada a plataforma P-71, que atingiu em novembro de 2021 o topo de extração de óleo do pré-sal: 150 mil barris por dia. A plataforma pode estocar até 1,6 milhão de barris de óleo.
A comunicação entre a plataforma e os navios próximos é feita via rádio, cujo transmissor tem alcance máximo de 63 km. A potência do sinal de rádio, \( P \), decai com a distância \( d \), em quilômetros, de acordo com a função: \[ P(d) = P_0 \cdot 2^{-d/9} \] sendo \( P_0 \) a potência de transmissão.
Além disso, um robô submarino que auxilia a plataforma experimenta, quando está dentro d’água, uma pressão \( p \), em atmosferas, dada pela equação: \[ p(h) = kh + 1 \] na qual \( k \) é uma constante e \( h \) é a profundidade do robô, em metros.
Com base nas informações precedentes, julgue os itens que se seguem:
21. Se, a 1.000 m abaixo do nível do mar, a pressão sobre o robô submarino for de 101 atmosferas, então, a 2.534 m, a pressão sobre ele será de 254,4 atmosferas.
Ver Solução
Entendendo o enunciado:
A pressão \( p(h) \), em atmosferas, sobre um robô submarino a uma profundidade \( h \), em metros, é dada por:
\[ p(h) = kh + 1 \]
Sabemos que, a 1.000 m de profundidade, a pressão é 101 atmosferas:
\[ p(1000) = k \cdot 1000 + 1 = 101 \]
\[ \Rightarrow k = \frac{100}{1000} = 0{,}1 \]
Cálculo da pressão a 2.534 m:
\[ p(2534) = 0{,}1 \cdot 2534 + 1 \]
\[ = 253{,}4 + 1 = 254{,}4 \text{ atmosferas} \]
Conclusão: A afirmativa está correta. A pressão sobre o robô a 2.534 metros é de 254,4 atmosferas.
🧠 Mapas Mentais de Matemática22. Para uma distância de 31,5 km da plataforma, a potência de um sinal transmitido a partir da plataforma será igual a \( \frac{P_0}{2} \).
Ver Solução
Entendendo o enunciado:
A potência do sinal de rádio transmitido pela plataforma segue a função:
\[
P(d) = P_0 \cdot 2^{-d/9}
\]
onde:
\( d \) é a distância (em km),
\( P_0 \) é a potência inicial de transmissão.
Substituindo \( d = 31{,}5 \) km:
\[ P(31{,}5) = P_0 \cdot 2^{-31{,}5 / 9} = P_0 \cdot 2^{-3{,}5} \]
Calculando:
Sabemos que \( 2^{-3{,}5} = 2^{-3} \cdot 2^{-0{,}5} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \approx \frac{1}{8 \cdot 1{,}414} \approx \frac{1}{11{,}31} \)
Ou seja: \[ P(31{,}5) \approx \frac{P_0}{11{,}31} \]
Conclusão: A afirmativa está errada. A potência não é \( \frac{P_0}{2} \), e sim aproximadamente \( \frac{P_0}{11{,}31} \), que é bem menor.
🧠 Mapas Mentais de Matemática23. Caso a produção diária da plataforma P-71 aumentasse, a partir do valor de topo extraído em novembro de 2021, de acordo com uma progressão geométrica de razão \( r = \sqrt{2} \), seriam necessários 4 dias para preencher todo o reservatório da plataforma.
Ver Solução
Entendendo o enunciado:
A produção diária inicial da plataforma é de 150 mil barris por dia.
A capacidade total do reservatório é de 1,6 milhão de barris.
A produção cresce em progressão geométrica com razão \( r = \sqrt{2} \).
Devemos verificar se 4 dias são suficientes para encher o reservatório.
Fórmula da soma dos \( n \) primeiros termos da PG:
\[
S_n = a_1 \cdot \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
onde:
\( a_1 = 150.000 \), \( r = \sqrt{2} \), \( n = 4 \)
Cálculo da soma:
\[ S_4 = 150.000 \cdot \frac{(\sqrt{2})^4 – 1}{\sqrt{2} – 1} = 150.000 \cdot \frac{4 – 1}{\sqrt{2} – 1} = 150.000 \cdot \frac{3}{\sqrt{2} – 1} \]
Racionalizando o denominador: \[ \frac{3}{\sqrt{2} – 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{3(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2})^2 – 1^2} = \frac{3(\sqrt{2} + 1)}{1} = 3(\sqrt{2} + 1) \]
\[ S_4 = 150.000 \cdot 3(\sqrt{2} + 1) \approx 150.000 \cdot 3(1{,}414 + 1) \]
\[ = 150.000 \cdot 3(2{,}414) \approx 150.000 \cdot 7{,}242 = 1.086.300 \text{ barris} \] c
Conclusão: A soma da produção em 4 dias é de aproximadamente 1.086.300 barris,
o que é insuficiente para preencher o reservatório de 1,6 milhão de barris.
A afirmativa está errada.
🧠 Mapas Mentais de Matemática24. Considerando um plano cartesiano em que as coordenadas estejam em quilômetros, se a plataforma estiver na posição (0, 0), então um navio que estiver localizado em (50, 35) não será capaz de receber uma mensagem transmitida da plataforma.
Ver Solução
Entendendo o enunciado:
A plataforma está na posição \( (0, 0) \) e o navio está em \( (50, 35) \), com coordenadas em quilômetros.
O alcance máximo do transmissor de rádio é de 63 km.
A questão pergunta se o navio poderá receber sinal da plataforma.
Vamos calcular a distância entre os dois pontos usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:
\[ d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \] \[ d = \sqrt{(50 – 0)^2 + (35 – 0)^2} = \sqrt{2500 + 1225} = \sqrt{3725} \]
\[ \sqrt{3725} \approx 61{,}03 \text{ km} \]
Conclusão: A distância entre o navio e a plataforma é de aproximadamente 61,03 km, o que é
A afirmativa está errada.
🧠 Mapas Mentais de Matemática
