OBMEP 2025 – Raciocínio Lógico com Frases e Única Verdade
Concurso: OBMEP | Ano: 2025 | Assunto: Lógica / Verdadeiros e Mentirosos
Enunciado:
Um prêmio foi dado a uma de cinco pessoas dispostas em fila. Cada uma delas disse uma das seguintes frases:
- “Eu não ganhei o prêmio”;
- “Quem ganhou o prêmio está na minha frente ou atrás de mim”.
Sabemos que apenas uma disse a verdade. Qual das afirmações a seguir é verdadeira?
Alternativas:
- (A) A terceira pessoa ganhou o prêmio.
- (B) É possível que três pessoas tenham dito “Eu não ganhei o prêmio”.
- (C) A pessoa que ganhou o prêmio foi a segunda ou a quarta.
- (D) A pessoa que ganhou o prêmio foi a primeira ou a quinta.
- (E) Qualquer pessoa pode ter ganho o prêmio.
Ver Solução
1. Estratégia:
Vamos testar cada possibilidade de quem poderia ter ganhado o prêmio, assumindo que apenas uma pessoa está dizendo a verdade.
2. Testando cada caso:
Se a 1ª pessoa ganhou o prêmio:
- Ela não pode ter dito “Eu não ganhei” (seria mentira).
- Se ela disse “O ganhador está à minha frente ou atrás de mim”, isso também é mentira (ela mesma ganhou, e não há ninguém atrás).
- Então, ela mentiu.
- Vamos verificar se somente uma pessoa está dizendo a verdade nesse cenário.
- Testando as frases de cada uma das outras pessoas com base em quem ganhou:
- 2ª: “Eu não ganhei” → verdade ✅
- 3ª: “Eu não ganhei” → verdade ✅
- 4ª: “Eu não ganhei” → verdade ✅
- 5ª: “Eu não ganhei” → verdade ✅
- → 4 verdades: inválido
Se a 5ª pessoa ganhou o prêmio:
- Ela também mentirá nas duas frases (mesma lógica da anterior).
- Agora testamos os outros:
- 1ª: “Eu não ganhei” → verdade ✅
- 2ª: “Eu não ganhei” → verdade ✅
- 3ª: “Eu não ganhei” → verdade ✅
- 4ª: “Eu não ganhei” → verdade ✅
- → 4 verdades: inválido
Se a 2ª pessoa ganhou o prêmio:
- Ela pode ter dito “Eu não ganhei” → mentira
- Ou “Está na frente ou atrás de mim” → mentira (ela mesma ganhou)
- Testando os outros:
- 1ª: “Eu não ganhei” → verdade ✅
- 3ª: “Eu não ganhei” → verdade ✅
- 4ª: “Eu não ganhei” → verdade ✅
- 5ª: “Eu não ganhei” → verdade ✅
- → muitas verdades ❌
Testando a 3ª pessoa como ganhadora:
- 1ª: “Eu não ganhei” → verdade ✅
- 2ª: “Eu não ganhei” → verdade ✅
- 4ª: “Eu não ganhei” → verdade ✅
- 5ª: “Eu não ganhei” → verdade ✅
- → novamente, várias verdades
Agora, e se a 1ª pessoa disser “quem ganhou está à minha frente ou atrás de mim”?
Ela estaria mentindo se ela própria ganhou o prêmio — e aí as outras frases poderiam ser mentirosas também.
Testando a hipótese: só a 4ª pessoa diz a verdade e o ganhador é a 5ª:
- 1ª diz: “Eu não ganhei” → mentira → então ela ganhou? ❌
- 2ª diz: “Eu não ganhei” → mentira → ganhou? ❌
- 3ª diz: “Quem ganhou está na minha frente ou atrás” → mentira → só seria mentira se ela mesma ganhou ❌
- 4ª diz: “Quem ganhou está à minha frente ou atrás de mim” → ganhador é o 5º → verdade ✅
- 5ª diz: “Eu não ganhei” → mentira → 5ª ganhou ✅
→ Só a 4ª disse a verdade. Consistente!
Logo, a 5ª ganhou o prêmio. Então a afirmação correta é:
Letra (D): A pessoa que ganhou o prêmio foi a primeira ou a quinta.
Gabarito: (D)
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