Questão 17. (Unicamp-SP) O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por:
$$ T(t) = T_A + \alpha \cdot 3^{\beta t} $$
Onde \( T(t) \) é a temperatura do corpo (em °C), \( T_A \) é a temperatura ambiente, \( \alpha \) e \( \beta \) são constantes e \( t \) é o tempo em minutos.
Sabendo que:
- O corpo foi colocado em um congelador a \( -18^\circ C \).
- Após 90 minutos, sua temperatura era \( 0^\circ C \).
- Após 270 minutos, era \( -16^\circ C \).
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🔎 Entendendo o enunciado:
Precisamos usar os dados para encontrar \( \alpha \) e \( \beta \) e depois determinar o instante \( t \) em que a temperatura do corpo estiver a \( \frac{2}{3}^\circ C \) acima da temperatura ambiente.
1) Substituindo \( T_A = -18 \):
Equação geral:
$$ T(t) = -18 + \alpha \cdot 3^{\beta t} $$
2) Aplicando o dado \( T(90) = 0 \):
$$ 0 = -18 + \alpha \cdot 3^{90\beta} \Rightarrow \alpha \cdot 3^{90\beta} = 18 \quad \text{(I)} $$
3) Aplicando o dado \( T(270) = -16 \):
$$ -16 = -18 + \alpha \cdot 3^{270\beta} \Rightarrow \alpha \cdot 3^{270\beta} = 2 \quad \text{(II)} $$
4) Dividindo (II) por (I):
$$ \frac{3^{270\beta}}{3^{90\beta}} = \frac{2}{18} \Rightarrow 3^{180\beta} = \frac{1}{9} \Rightarrow 3^{180\beta} = 3^{-2} $$
$$ 180\beta = -2 \Rightarrow \beta = -\frac{1}{90} $$
5) Substituindo em (I) para achar \( \alpha \):
$$ \alpha \cdot 3^{-1} = 18 \Rightarrow \alpha = 18 \cdot 3 = 54 $$
✅ Conclusão (parte a):
- α: $$ \alpha = 54 $$
- β: $$ \beta = -\frac{1}{90} $$
6) Parte (b) – Quando \( T(t) = T_A + \frac{2}{3} \):
$$ T(t) = -18 + 54 \cdot 3^{-t/90} = -18 + \frac{2}{3} $$
$$ -18 + 54 \cdot 3^{-t/90} = -\frac{52}{3} $$
$$ 54 \cdot 3^{-t/90} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3^{-t/90} = \frac{2}{162} = \frac{1}{81} $$
$$ \frac{1}{81} = 3^{-4} \Rightarrow -\frac{t}{90} = -4 \Rightarrow t = 360 $$
✅ Conclusão (parte b):
- O tempo é: $$ t = 360 \text{ minutos} $$
- Temperatura está a 2/3 ºC acima de -18 ºC.
