Concurso: OBMEP | Ano: 2025 | Assunto: Geometria / Coroa Circular
Enunciado:
A figura mostra duas circunferências concêntricas. O segmento \( AB \) é tangente à circunferência interior e tem comprimento 2. Qual é a área da região cinza?
Alternativas:
- (A) \( \pi \)
- (B) \( 2\pi \)
- (C) \( \frac{\pi}{2} \)
- (D) \( 3\pi \)
- (E) \( \frac{\pi}{3} \)
Ver Solução
1. Interpretando a figura:
Temos duas circunferências concêntricas (mesmo centro). A região cinza é a diferença de áreas entre a circunferência maior (raio \( R \)) e a menor (raio \( r \)).
A área da região cinza é:
\[
A = \pi R^2 – \pi r^2 = \pi(R^2 – r^2)
\]
2. Informações da figura:
O segmento \( AB = 2 \) é tangente à circunferência menor. Como o centro está exatamente no meio entre A e B, esse segmento é perpendicular ao raio da circunferência menor no ponto de tangência, formando um triângulo retângulo com:
- cateto oposto = \( r \)
- cateto adjacente = \( 1 \) (metade de 2)
- hipotenusa = \( R \) (raio da circunferência maior)
3. Aplicando Pitágoras:
\[ R^2 = r^2 + 1^2 = r^2 + 1 \]4. Substituindo na fórmula da área:
\[ A = \pi(R^2 – r^2) = \pi[(r^2 + 1) – r^2] = \pi(1) = \boxed{\pi} \]Gabarito: (A) \( \pi \)
🧠 Mapas Mentais de Matemática
