Raízes da função quadrática (guia completo)
As raízes (ou zeros) de uma função quadrática \(f(x)=ax^2+bx+c\) \((a\ne 0)\) são os valores de \(x\) que tornam \(f(x)=0\). No gráfico, são os pontos de interseção da parábola com o eixo \(x\). Este artigo reúne definição, fórmula de Bhaskara, interpretação geométrica, casos do discriminante \((\Delta)\), relações de Viète e exemplos resolvidos passo a passo.
Definição e fórmula de Bhaskara
O valor de \(\Delta\) define quantas raízes reais existem:
- \(\Delta>0\): duas raízes reais e distintas \((x_1\ne x_2)\);
- \(\Delta=0\): uma raiz real dupla \((x_1=x_2)\);
- \(\Delta<0\): não há raízes reais (as soluções são complexas).
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No plano cartesiano, as raízes são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo \(x\). Relacione com:
- vértice \(\left(\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a}\right)\),
- abertura (sinal e “largura” via \(a\)),
- intercepto em \(y\) (valor \(f(0)=c\)).
Relações de Viète (atalhos úteis)
\[ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. \] Ótimo para conferência e para problemas que pedem soma/produto das raízes.
Passo a passo (com as contas em coluna)
Exemplo 1 — \(f(x)=x^2-5x+6\). Calcule as raízes e interprete.
A parábola cruza o eixo \(x\) em \(x=2\) e \(x=3\). Conferindo Viète: \(x_1+x_2=5=-b/a\) e \(x_1x_2=6=c/a\).
Exemplo 2 — \(g(x)=-2x^2+x+3\). Encontre \(x_1,x_2\).
Raízes: \(x_1=\tfrac{3}{2}\) e \(x_2=-1\). Soma \(=\tfrac{1}{2}=-b/a\) e produto \(=-\tfrac{3}{2}=c/a\), OK.
Exemplo 3 — \(h(x)=3x^2+2x+5\). Existem raízes reais?
\(\Delta<0\) ⇒ não há raízes reais. A parábola não corta o eixo \(x\).
Exemplo 4 — \(p(x)=x^2-6x+9\). Caso de raiz dupla.
A parábola toca o eixo \(x\) no ponto único \(x=3\) (vértice sobre o eixo).
Como responder questões típicas
Sem calcular as raízes
Use Viète para obter soma \((-\!b/a)\) e produto \((c/a)\). Útil para perguntas do tipo: “as raízes são positivas?”, “têm o mesmo sinal?” etc.
Comparando gráficos
Relacione o sinal de \(a\) (abre para cima/baixo), o vértice e o estudo do sinal para prever onde o gráfico cruza ou não o eixo \(x\).
Fatoração
Se \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) for fácil de obter (por inspeção), as raízes aparecem diretamente: \(x_1\) e \(x_2\).
Exercícios propostos
1) Encontre as raízes de \(f(x)=2x^2-7x+3\).
Gabarito
2) Para \(g(x)=-x^2+4x-4\), determine as raízes.
Gabarito
3) \(h(x)=5x^2+3x+2\). Há raízes reais?
